১ $A = 4^{2p+1}$, $B = \dfrac{5^{m+1}}{\left( 5^m \right)^{m-1}}$, $C = \dfrac{ 25^{m+1} }{ \left( 5^{m-1} \right)^{m+1}}$, $D=3^x + 3^{1-x}$

• (ক) $A=128$ হলে, $p$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) প্রমাণ কর যে, $B \div C = \dfrac{1}{25}$
• (গ) $D=4$ হলে $x$ এর মান নির্ণয় কর।

২ $A = \left( 2a^{-1} + 3b^{-1} \right)^{-1}$, $B = \sqrt [pq] {\dfrac{x^p}{x^q}} \times \sqrt [qr] {\dfrac{x^q}{x^r}} \times \sqrt [rp] {\dfrac{x^r}{x^p}}$ এবং $C = \dfrac{5^{m+1}}{\left( 5^m \right)^{m-1}} \div \dfrac{ 25^{m+1} }{ \left( 5^{m-1} \right)^{m+1}}$

• (ক) $A$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) দেখাও যে, $B + \sqrt [4] {81} = 4$
• (গ) দেখাও যে, $B \div C = 25$

৩ $L$, $M$, $N$, $Q$ ও $R$ কয়েকটি বীজগাণিতিক রাশি যেখানে: $L = \left( \dfrac{a^y}{a^z} \right)^{y^2 + yz + z^2}$; $M = \left( \dfrac{a^x}{a^y} \right)^{x^2 + xy + y^2}$; $N = \left( \dfrac{a^z}{a^x} \right)^{z^2 + zx + x^2}$; $Q = \dfrac{4^{x+3} - 8 \cdot 2^{2x+1}}{4^{x+2} \div 8}$ এবং $R = \dfrac{5 \cdot 2^x - 8 \cdot 2^{x-1}}{2^x - 3 \cdot 2^{x-2}}$

• (ক) $8^{x+1}=64$ হলে, $x$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) দেখাও যে, $LMN = 1$
• (গ) প্রমাণ কর যে, $Q \div R = 6$

৪ $a = \dfrac{3 \cdot 2^x - 4 \cdot 2^{x-2}}{2^x - 2^{x-1}}$, $b = \dfrac{2^{x+4} - 4 \cdot 2^{x+1}}{2^{x+2} \div 2}$ এবং $c = \dfrac{9^{x+1}}{3^{(x+1)(x-1)}}$

• (ক) $\dfrac{5^{x+2} + 35 \cdot 5^{x-1}}{4 \cdot 5^x}$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) $ab$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) যদি $a=bc$ হয়, তবে $x$ এর মান নির্ণয় কর।

৫ $Y = 5^{2r+1}$, $W = \dfrac{6^{m+1}}{\left( 6^m \right)^{m-1}} \div \dfrac{36^{m+1}}{\left( 6^{m-1} \right)^{m+1}}$, $R = 7^x + 7^{1-x}$

• (ক) $Y=3125$ হলে $r$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) প্রমাণ কর যে, $W^{-1} = 36$
• (গ) $R=8$ হলে, $x$ এর মান নির্ণয় কর।

৬ $P = 25^{m+1}$, $Q = \dfrac{2^{t+1}}{\left( 2^t \right)^{t-1}}$, $M = \dfrac{4^{t+1}}{\left( 2^{t-1} \right)^{t+1}}$, $N = 6^t + 6^{1+t}$

• (ক) $P=125$ হলে $m$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) দেখাও যে, $Q \div M = \dfrac{1}{4}$
• (গ) $N=7$ হলে $t$ এর মান নির্ণয় কর।

৭ $\sqrt{x^{-1}y} \cdot \sqrt{y^{-1}z} \cdot \sqrt{z^{-1}x}$, [$x > 0$, $y > 0$, $z > 0$] একটি রাশি।

• (ক) প্রদত্ত রাশিটির মান বের কর।
• (খ) সরল কর: $\left( \dfrac{a^x}{a^y} \right)^z \cdot \left( \dfrac{a^y}{a^z} \right)^x \cdot \left( \dfrac{a^z}{a^x} \right)^y + \sqrt{x^{-1}y} \cdot \sqrt{y^{-1}z} \cdot \sqrt{z^{-1}x}$
• (গ) প্রমাণ কর: $\left( \dfrac{a^{p+q}}{a^{2r}} \right) \times \left( \dfrac{a^{q+r}}{a^{2p}} \right) \times \left( \dfrac{a^{r+p}}{a^{2q}} \right) + 1 = 2$

৮ $l = a^2 + ab +b^2$, $m = b^2 + bc + c^2$, $n = c^2 + ca + a^2$

• (ক) $\sqrt{ \sqrt [3] { \sqrt{4096} }}$ = কত?
• (খ) প্রমাণ কর যে, $\left( \dfrac{x^a}{x^b} \right)^l \times \left( \dfrac{x^b}{x^c} \right)^m \times \left( \dfrac{x^c}{x^a} \right)^n = 1$
• (গ) $\dfrac{\left( p^a \cdot p^b \right)^{l-2ab}}{p^{a^3} \cdot p^{b^3}} + \dfrac{\left( p^b \cdot p^c \right)^{m-2bc}}{p^{b^3} \cdot p^{c^3}} + \dfrac{\left( p^c \cdot p^a \right)^{n-2ca}}{p^{c^3} \cdot p^{a^3}}$ এর মান নির্ণয় কর।

৯ $P = \dfrac{15 \times 7^2}{35 \times 3^2}$, $Q = \dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt[3]{27}}$, $R = \dfrac{\sqrt{15} \cdot \sqrt[3]{64}}{6 \sqrt{3}} \times 5^{\frac{-1}{2}}$

• (ক) $Q$ এর সরলফল নির্ণয় কর।
• (খ) দেখাও যে, $P \times Q = \dfrac{49}{9}$
• (গ) $2R = a^2$ হলে $a$ এর মান কত?

১০ $p = \dfrac{5^a}{5^b}$, $q = \dfrac{5^b}{5^c}$ এবং $r = \dfrac{5^c}{5^a}$ হয়।

• (ক) $p^{a+b} \times q^{b+c}$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) $p^{\frac{1}{ab}} \times q^{\frac{1}{bc}} \times r^{\frac{1}{ca}}$ এর সরলীকরণ কর।
• (গ) দেখাও যে, $\dfrac{q^a}{r^b} \times p^c = 5^{2b(a-c)}$

১১ $6^{p+2q} \cdot 12^{-p+q} \cdot 20^{2p+q}$ ও $9^{p-q} \cdot 8^{-p-2q} \cdot 15^{-2p-q}$ দুইটি সূচকীয় রাশি।

• (ক) প্রথম রাশিকে $2$, $3$ ও $5$ এর সূচকের গুণফল আকারে প্রকাশ কর।
• (খ) রাশি দুইটির গুণফল নির্ণয় কর।
• (গ) দেখাও যে, রাশি দুইটির গুণফল $p(p+q^{-1})^{-1}$ ও $p^{-1}(q+p^{-1})^{-1}$ এর যোগফলের সমান।

১২ $A = \dfrac{2^{n+4} - 4 \cdot 2^{n+1}}{2^{n+2} \div 2}$, $B = \dfrac{2^{2p+1} \cdot 3^{2p+q} \cdot 5^{p+q} \cdot 6^{p}}{3^{p-2} \cdot 6^{2p+2} \cdot 10^{p} \cdot 15^{q}}$ এবং $C = \dfrac{5^{m+1}}{(5^m)^{m-1}} \div \dfrac{25^{m+1}}{(5^{m-1})^{m+1}}$

• (ক) $x^{x \sqrt{x}} = \left( x \sqrt{x} \right)^x$ হলে $x=?$
• (খ) $A+\sqrt{C}$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) প্রমাণ কর যে, $\dfrac{A}{8} - B + 25C = 1$

১৩ $R = \frac{m^{\frac32} + mn}{mn - n^3} - \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}-n}$, $l = a^2 + ab + b^2$, $m=b^2 + bc + c^2$, $n = c^2 + ca + a^2$

• (ক) $\left\lbrace \left( x^{-1} + y^{-1} \right)^{-1} \right\rbrace^{-1}$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) প্রমাণ কর যে, $\frac{\left( p^a \cdot p^b \right)^{l-2ab}}{p^{a^3} \cdot p^{b^3}}$$ + \frac{\left( p^b \cdot p^c \right)^{m-2bc}}{p^{b^3} \cdot p^{c^3}}$$ + \frac{\left( p^c \cdot p^a \right)^{n-2ca}}{p^{c^3} \cdot p^{a^3}}$$ = 3$
• (গ) $R$ এর সরলীকরণ কর।

১৪ $a$ এর $x$-তম ঘাত $b$, $b$ এর $y$-তম ঘাত $c$ এবং $c$ এর $z$-তম ঘাত $a$ এবং $2^x + 2^{1-x} = 3$ একটি সূচকীয় সমীকরণ।

• (ক) $a = 2$, $b = 3$ হলে, $\left( 2a^{-1} + 3b^{-1} \right)^{-1}$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) $x$, $y$ এবং $z$ এর গুণফল কত?
• (গ) সূচকীয় সমীকরণটি সমাধান কর।

১৫ $x$, $y > 0$; $a$, $b$, $c > 0$ এবং $p$, $q$, $r$ মূলদ সংখ্যা।

• (ক) $\left( \dfrac{x^{2} y^{-1}}{x^{-2} y} \right)^2 \cdot \sqrt{\left( \dfrac{y^{5} x^{-6}}{y^{-3} x^{10}} \right)}$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) দেখাও যে, $\left( a^p \right)^{q-r} \cdot \left( a^q \right)^{r-p} \cdot \left( a^r \right)^{p-q} = \left( \dfrac{x^2 y^{-1}}{x^{-2} y} \right)^2 \cdot \sqrt{\left( \dfrac{y^5 x^{-6}}{y^{-3} x^{10}} \right)}$
• (গ) প্রমাণ কর : $\left( \dfrac{y^a}{y^b} \right)^{a+b} \cdot \left( \dfrac{y^b}{y^c} \right)^{b+c} \cdot \left( \dfrac{y^c}{y^a} \right)^{c+a} = \left( a^p \right)^{q-r} \cdot \left( a^q \right)^{r-p} \cdot \left( a^r \right)^{p-q}$

১৬ $A = 6^{p+q}$, $B = 6^{q+r}$, $C = 6^{r+p}$ হলে,

• (ক) $\sqrt[3]{54} + \sqrt{12}$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) $\left( \dfrac{A}{B} \right)^{p+r} \times \left( \dfrac{B}{C} \right)^{p+q} \times \left( \dfrac{C}{A} \right)^{r+q} =$ কত?
• (গ) দেখাও যে, $\left( AB \right)^{p-r} \times \left( BC \right)^{q-p} \times \left( CA \right)^{r-q} = 1$

১৭ $Q = \sqrt[3]{8}$, $Y = 8$, $Z = \sqrt[3]{27}$, $P = \dfrac{8}{3}$

• (ক) $3 \sqrt3$ এর $3$ ভিত্তিক লগ নির্ণয় কর।
• (খ) প্রমাণ কর যে, $\dfrac{\log \sqrt{Q} + \log \sqrt{Y} - \log{Z}}{\log (2Y) - \log Z^2} = \dfrac{1}{2}$
• (গ) $\dfrac{Q^{12}}{Z^{16}} \times \left( \dfrac{Y}{P} \right)^{16} = (2Y)^{x-2}$ হলে, $x$ এর মান নির্ণয় কর।

১৮ $M = 5^{x+1}$, $N = 5^{x-1}$ এবং $R = \dfrac{\log \sqrt{27} + \log 8 - \log \sqrt{512}}{\log \frac{15}{10}}$

• (ক) $\sqrt{P^3}$ এর $7$ ভিত্তিক লগ নির্ণয় কর, যখন $P = 7$
• (খ) $\dfrac{M}{N^x} \div \dfrac{M^2}{N^{x+1}}$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) প্রমাণ কর যে, $2R - 3 = 0$

১৯ $A=2$, $B=3$, $C=5$ এবং $D=7$

• (ক) সমাধান কর: $\left( \sqrt{7} \right)^{5x-1} = \left( \sqrt[5]{7} \right)^{2x-3}$
• (খ) $\dfrac{(A)^{2x+1} \cdot (B)^{2x+y} \cdot (C)^{x+y} \cdot (AB)^{x}}{(B)^{x-2} \cdot (AB)^{2x+2} \cdot (AC)^{x} \cdot (BC)^{y}}$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) প্রমাণ কর যে, $D \log \frac{AC}{B^2} - A \log \frac{C^2}{A^2B} + B \log \frac{B^4}{A^4C} = - \log 2$

২০ $P = \dfrac{(49)^{x+1}}{7^{(x+2)(x-1)}}$, $x$ ধনাত্মক সংখ্যা এবং $Q = \log_{10}x + \log_{10}(x-9)$

• (ক) $5^{x+1} = (125)^{x-3}$ হলে, $x$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) $P = 1$ হলে, দেখাও যে, $x = \dfrac{1 + \sqrt{17}}{2}$
• (গ) $Q=1$ হলে, $x$ এর মান নির্ণয় কর।

২১ $A = \dfrac{7^{m+1}}{(7^m)^{m-1}}$, $B = \dfrac{49^{m+1}}{(7^{m-1})^{m+1}}$, $C = \log (x+5)$$ + \log (x-5)$$ - 4 \log 2$$ - 2 \log 3$

• (ক) $32$ এর $4$ ভিত্তিক লগ নির্ণয় কর।
• (খ) দেখাও যে, $A \div B \times \sqrt{49} = \dfrac{1}{7}$
• (গ) $C=0$ হলে, $x$ এর মান নির্ণয় কর।

২২ $Q=\log_{10}x + \log_{10}(x-3)$ এবং $N = \dfrac{7^{m+1}}{(7^m)^{m-1}} \div \dfrac{(49)^{m+1}}{(7^{m-1})^{m+1}} \times \sqrt[3]{7^9}$

• (ক) $4^{2p-1} = 512$ হলে, $p$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) $Q=1$ হলে, $x$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) প্রমাণ কর যে, $N=7$

২৩ $A = ( \log_{10}3\sqrt3 - \log_{10}\frac{1}{8}$$ - \log_{10}10\sqrt{10} )$$ \div \log_{10}1.2$, $B = \dfrac{49^{p+1}}{\left( 7^{p-1} \right)^{p+1}}$, $C = \dfrac{7^{p+1}}{\left(7^p \right)^{p-1}}$

• (ক) $\left( \sqrt5 \right)^{x+1} = \left( \sqrt[3]5 \right)^{2x-1}$ হলে, $x$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) প্রমাণ কর যে, $A \div \sqrt{2.25} = 1$
• (গ) $(B \div C) \times 7^{-2}$ এর মান নির্ণয় কর।

২৪ (i) $A=125^p - 11 \times 25^p + 24$ এবং $B = 7 - 5 \times 5^p$
(ii) $L = 2 \log_{3}x - \log_{3}(x+6)+1$

• (ক) $\log_{7}2 = \alpha$, $\log_{7}3 = \beta$ এবং $\log_{7}5 = \gamma$ হলে, $\log_{7}\frac{15}{2}$ কে $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
• (খ) $A=7B$ হলে, $p$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) $L=2$ হলে, $x$ এর মান নির্ণয় কর।

২৫ $x=2$, $y=3$ এবং $z=5$

• (ক) $\log_{7}\left( \sqrt[3]7 \cdot \sqrt7 \right)$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) সরল কর: $\dfrac{y^{a+1}}{(y^a)^{a-1}} \div \dfrac{(3y)^{a+1}}{(y^{a+1})^{a-1}} \times \dfrac{1}{y^{-2}}$
• (গ) দেখাও যে, $\left( \log \sqrt{y^3} + \log x^3 - \log \sqrt{x^3 z^3} \right)$$ \div \log 1.2 = \frac{3}{2}$

২৬ দৃশ্যকল্প-১: $L = \dfrac{x^a}{x^b}$, $M = \dfrac{x^b}{x^c}$, $N = \dfrac{x^c}{x^a}$
দৃশ্যকল্প-২: $x=2$, $y=3$, $z=5$, $w=7$

• (ক) সরল কর: $\log_{\sqrt{a}}b \times \log_{\sqrt{b}}c \times \log_{\sqrt{c}}a$
• (খ) সরল কর: $\sqrt[5ab]{L} \times \sqrt[5bc]{M} \times \sqrt[5ca]{N}$
• (গ) প্রমাণ কর যে, $\dfrac{\log \sqrt{y^3} + y \log x - \log\sqrt[x]{(xz)^y}}{\log(xy \div z)}$$ = \log_{y}{\sqrt{y^3}}$

২৭ $P = 2 \log_{4}x - \log_{4}(x+3) + 2$ এবং $Q=3$

• (ক) $\log_{7}3 = A$, $\log_{7}5 = B$ এবং $\log_{7}2 = C$ হলে, $\log_{7}\frac{6}{5}$ কে $A$, $B$ এবং $C$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
• (খ) $\dfrac{Q^{a+1}}{(Q^a)^{a-1}} \div \dfrac{(3Q)^{a+1}}{(Q^{a+1})^{a-1}} \times \dfrac{1}{Q^{-2}}$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) $P=3$ হলে, $x$ এর মান নির্ণয় কর।

২৮ $P = xy^{a-1}$, $Q = xy^{b-1}$, $R = xy^{c-1}$, $M = \log_{10}3\sqrt3$$ + 2 \log_{10}2\sqrt2$$ - \log_{10}10\sqrt{10}$ এবং $N = \frac{1}{2} \log_{10}1.44$

• (ক) $3$ এর $27$ ভিত্তিক লগ নির্ণয় কর।
• (খ) দেখাও যে, $(b-c)\log$$ P + (c-a)\log Q$$ + (a-b)\log R$$ = 0$
• (গ) প্রমাণ কর যে, $\frac{2M}{N}=3$

২৯ $A = \left( \dfrac{a^{\frac{p}{q}}}{a^{\frac{q}{p}}} \right)^{\frac{pq}{p+q}} \times \left( \dfrac{a^{\frac{q}{r}}}{a^{\frac{r}{q}}} \right)^{\frac{qr}{q+r}}$$ \times \left( \dfrac{a^{\frac{r}{p}}}{a^{\frac{p}{r}}} \right)^{\frac{rp}{r+p}}$
এবং $B = \frac{\log_{10}\sqrt8 + \log_{10}3\sqrt3 - \frac{3}{2}\log_{10}5}{\log_{10}1.2}$

• (ক) $(\sqrt3)^x = 81$ হলে, $x$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) $A$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) প্রমাণ কর যে, $B = \frac{3}{2}$

৩০ $A = \log_{5}\sqrt[3]{5} + \log_{7}\sqrt[3]{7} \cdot \sqrt7$, $P = \log \frac{16}{15}$, $Q = \frac{25}{24}$, $R = \log \frac{81}{80}$ এবং $T = x^2 + y^2$

• (ক) $A - \log_{4}2$ এর মান কত?
• (খ) $T = 11xy$ হলে, দেখাও যে, $\log \frac{x-y}{3} = \frac{1}{2} \log x + \frac{1}{2} \log y$
• (গ) $7P + 5Q + 3R$ এর সরলীকরণ কর।

৩১ $\log \sqrt{54} - \log_9 \sqrt2$ এবং $\dfrac{\log \sqrt{27} + \log 8 - \log \sqrt{216}}{\log_5 \sqrt[3]5 \div \log_{12} \sqrt{12}}$ দুইটি লগ সম্বলিত রাশি।

• (ক) $\log_{12} 2\sqrt3$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) উদ্দীপকের ১ম রাশি সরল কর।
• (গ) উদ্দীপকের ২য় রাশিকে সরল কর।

৩২ $a = \log_x(xyz)$, $b = \log_y(xyz)$ ও $c = \log_z(xyz)$

• (ক) $x=y=\sqrt5$ এবং $z=25$ হলে $a$ এর মান কত?
• (খ) $\dfrac{x^{a-1}}{yz} + \dfrac{y^{b-1}}{zx} + \dfrac{z^{c-1}}{xy}$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) প্রমাণ কর যে, $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 1$

৩৩ $A = \sqrt{\left( \dfrac{a^{p+q}}{a^{2p}} \right)^{p^2+pq+q^2}} \times $$\sqrt{\left( \dfrac{a^{q+r}}{a^{2q}} \right)^{q^2+qr+r^2}} \times $$\sqrt{\left( \dfrac{a^{r+p}}{a^{2r}} \right)^{r^2+rp+p^2}}$ এবং $B = \dfrac{\log_{10}\sqrt8 + \log_{10}\sqrt{125} - \log_{10}4}{3 \log_{10}5 - \log_{10}2}$

• (ক) $9^x = 27$ হলে, $x$-এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) $A$-এর সরল মান নির্ণয় কর।
• (গ) প্রমাণ কর যে, $B=\dfrac{1}{2}$