সূচক ও লগারিদম : অনুশীলনী-৪ - সৃজনশীল - ১৮

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$P = 7$

প্রদত্ত রাশি,

$= \sqrt{P^3}$ এর $7$ ভিত্তিক লগ

$= \log_7 (\sqrt{P^3})$

$= \log_7 (\sqrt{7^3})$ [ $P$ এর মান বসিয়ে ]

$= \log_7 (7^{\frac{3}{2}})$

$= \dfrac{3}{2} \log_7 7$

$= \dfrac{3}{2} \cdot 1$ [যেহেতু $\log_a a = 1$]

$= \dfrac{3}{2}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\dfrac{3}{2}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$M = 5^{x+1}$

$N = 5^{x-1}$

প্রদত্ত রাশি,

$= \dfrac{M}{N^x} \div \dfrac{M^2}{N^{x+1}}$

মান বসিয়ে পাই,

$= \dfrac{5^{x+1}}{(5^{x-1})^x} \div \dfrac{(5^{x+1})^2}{(5^{x-1})^{x+1}}$

$= \dfrac{5^{x+1}}{5^{x^2-x}} \div \dfrac{5^{2x+2}}{5^{(x-1)(x+1)}}$

$= \dfrac{5^{x+1}}{5^{x^2-x}} \div \dfrac{5^{2x+2}}{5^{x^2-1}}$

$= 5^{(x+1) - (x^2-x)} \div 5^{(2x+2) - (x^2-1)}$

$= 5^{x+1-x^2+x} \div 5^{2x+2-x^2+1}$

$= 5^{-x^2+2x+1} \div 5^{-x^2+2x+3}$

$= 5^{(-x^2+2x+1) - (-x^2+2x+3)}$

$= 5^{-x^2+2x+1+x^2-2x-3}$

$= 5^{-2}$

$= \dfrac{1}{5^2}$

$= \dfrac{1}{25}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\dfrac{1}{25}$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$R = \dfrac{\log \sqrt{27} + \log 8 - \log \sqrt{512}}{\log \frac{15}{10}}$

প্রথমে $R$ এর মান নির্ণয় করি,

$R = \dfrac{\log \sqrt{3^3} + \log 2^3 - \log \sqrt{2^9}}{\log \frac{3}{2}}$

$= \dfrac{\log \left(3^3\right)^{\frac{1}{2}} + \log 2^3 - \log \left(2^9\right)^{\frac{1}{2}}}{\log \frac{3}{2}}$

$= \dfrac{\log 3^{\frac{3}{2}} + \log 2^3 - \log 2^{\frac{9}{2}}}{\log \frac{3}{2}}$

$= \dfrac{\frac{3}{2}\log 3 + 3\log 2 - \frac{9}{2}\log 2}{\log \frac{3}{2}}$

$= \dfrac{\frac{3}{2}\log 3 + \left(3 - \frac{9}{2}\right)\log 2}{\log \frac{3}{2}}$

$= \dfrac{\frac{3}{2}\log 3 + \left(\frac{6-9}{2}\right)\log 2}{\log \frac{3}{2}}$

$= \dfrac{\frac{3}{2}\log 3 - \frac{3}{2}\log 2}{\log \frac{3}{2}}$

$= \dfrac{\frac{3}{2}(\log 3 - \log 2)}{\log \frac{3}{2}}$

$= \dfrac{\frac{3}{2}\log \frac{3}{2}}{\log \frac{3}{2}}$ [যেহেতু $\log a - \log b = \log \frac{a}{b}$]

লব ও হর হতে $\log \frac{3}{2}$ বাদ দিয়ে পাই,

$R = \dfrac{3}{2}$

এখন,

বামপক্ষ,

$= 2R - 3$

$= 2 \times \dfrac{3}{2} - 3$ [ $R$ এর মান বসিয়ে ]

$= 3 - 3$

$= 0$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $2R - 3 = 0$ Proved