সূচক ও লগারিদম : অনুশীলনী-৪ - সৃজনশীল - ১৭

(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত রাশি,

$= 3 \sqrt{3}$ এর $3$ ভিত্তিক লগ

$= \log_3 (3 \sqrt{3})$

$= \log_3 (3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

$= \log_3 (3^{1 + \frac{1}{2}})$

$= \log_3 (3^{\frac{3}{2}})$

$= \dfrac{3}{2} \log_3 3$

$= \dfrac{3}{2} \cdot 1$ [যেহেতু $\log_a a = 1$]

$= \dfrac{3}{2}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\dfrac{3}{2}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$Q = \sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3} = 2$

$Y = 8$

$Z = \sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3$

বামপক্ষ,

$= \dfrac{\log \sqrt{Q} + \log \sqrt{Y} - \log{Z}}{\log (2Y) - \log Z^2}$

মান বসিয়ে পাই,

$= \dfrac{\log \sqrt{2} + \log \sqrt{8} - \log{3}}{\log (2 \cdot 8) - \log 3^2}$

$= \dfrac{\log 2^{\frac{1}{2}} + \log \sqrt{2^3} - \log{3}}{\log 16 - 2\log 3}$

$= \dfrac{\frac{1}{2}\log 2 + \log 2^{\frac{3}{2}} - \log{3}}{\log 2^4 - 2\log 3}$

$= \dfrac{\frac{1}{2}\log 2 + \frac{3}{2}\log 2 - \log{3}}{4\log 2 - 2\log 3}$

$= \dfrac{\left(\frac{1}{2} + \frac{3}{2}\right)\log 2 - \log{3}}{2(2\log 2 - \log 3)}$

$= \dfrac{\left(\frac{4}{2}\right)\log 2 - \log{3}}{2(2\log 2 - \log 3)}$

$= \dfrac{2\log 2 - \log{3}}{2(2\log 2 - \log 3)}$

লব ও হর হতে $(2\log 2 - \log 3)$ বাদ দিয়ে পাই,

$= \dfrac{1}{2}$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $\dfrac{\log \sqrt{Q} + \log \sqrt{Y} - \log{Z}}{\log (2Y) - \log Z^2} = \dfrac{1}{2}$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$Q = 2$

$Y = 8$

$Z = 3$

$P = \dfrac{8}{3}$

প্রদত্ত সমীকরণ,

$\dfrac{Q^{12}}{Z^{16}} \times \left( \dfrac{Y}{P} \right)^{16} = (2Y)^{x-2}$

মান বসিয়ে পাই,

বা, $\dfrac{2^{12}}{3^{16}} \times \left( \dfrac{8}{\frac{8}{3}} \right)^{16} = (2 \cdot 8)^{x-2}$

বা, $\dfrac{2^{12}}{3^{16}} \times \left( 8 \times \dfrac{3}{8} \right)^{16} = (16)^{x-2}$

বা, $\dfrac{2^{12}}{3^{16}} \times 3^{16} = (2^4)^{x-2}$

বা, $2^{12} \times \dfrac{3^{16}}{3^{16}} = 2^{4x-8}$

বা, $2^{12} \times 1 = 2^{4x-8}$

বা, $2^{12} = 2^{4x-8}$

উভয়পক্ষ থেকে ভিত্তি $2$ বাদ দিয়ে পাই,

$12 = 4x - 8$

বা, $4x - 8 = 12$

বা, $4x = 12 + 8$

বা, $4x = 20$

বা, $x = \dfrac{20}{4}$

$\therefore x = 5$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $x = 5$। Answer