(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$A = \log_{5}\sqrt[3]{5} + \log_{7}(\sqrt[3]{7} \cdot \sqrt7)$

প্রথমে $A$ এর মান নির্ণয় করি,

$A = \log_{5}5^{\frac{1}{3}} + \log_{7}(7^{\frac{1}{3}} \cdot 7^{\frac{1}{2}})$

$= \dfrac{1}{3}\log_{5}5 + \log_{7}(7^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}})$

$= \dfrac{1}{3} \cdot 1 + \log_{7}(7^{\frac{2+3}{6}})$ [যেহেতু $\log_a a = 1$]

$= \dfrac{1}{3} + \log_{7}7^{\frac{5}{6}}$

$= \dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{6}\log_{7}7$

$= \dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{6} \cdot 1$

$= \dfrac{2 + 5}{6}$

$= \dfrac{7}{6}$

এখন, প্রদত্ত রাশি,

$= A - \log_{4}2$

$= \dfrac{7}{6} - \log_{4}4^{\frac{1}{2}}$

$= \dfrac{7}{6} - \dfrac{1}{2}\log_{4}4$

$= \dfrac{7}{6} - \dfrac{1}{2} \cdot 1$

$= \dfrac{7 - 3}{6}$

$= \dfrac{4}{6}$

$= \dfrac{2}{3}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\dfrac{2}{3}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$T = x^2 + y^2$

প্রশ্নমতে,

$T = 11xy$

বা, $x^2 + y^2 = 11xy$

বা, $x^2 - 2xy + y^2 = 11xy - 2xy$ [উভয়পক্ষ হতে $2xy$ বিয়োগ করে]

বা, $(x - y)^2 = 9xy$

উভয়পক্ষকে $9$ দ্বারা ভাগ করে পাই,

বা, $\dfrac{(x - y)^2}{9} = xy$

বা, $\left( \dfrac{x - y}{3} \right)^2 = xy$

উভয়পক্ষে $\log$ নিয়ে পাই,

বা, $\log \left( \dfrac{x - y}{3} \right)^2 = \log(xy)$

বা, $2 \log \dfrac{x - y}{3} = \log x + \log y$ [যেহেতু $\log(ab) = \log a + \log b$]

উভয়পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\therefore \log \dfrac{x - y}{3} = \dfrac{1}{2} \log x + \dfrac{1}{2} \log y$

সুতরাং, $\log \dfrac{x - y}{3} = \dfrac{1}{2} \log x + \dfrac{1}{2} \log y$ Shown

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$P = \log \dfrac{16}{15}$

$Q = \log \dfrac{25}{24}$ [সঠিক প্রশ্নানুসারে]

$R = \log \dfrac{81}{80}$

প্রদত্ত রাশি,

$= 7P + 5Q + 3R$

মান বসিয়ে পাই,

$= 7 \log \dfrac{16}{15} + 5 \log \dfrac{25}{24} + 3 \log \dfrac{81}{80}$

$= \log \left( \dfrac{16}{15} \right)^7 + \log \left( \dfrac{25}{24} \right)^5$$ + \log \left( \dfrac{81}{80} \right)^3$

$= \log \left( \dfrac{2^4}{3 \cdot 5} \right)^7 + \log \left( \dfrac{5^2}{2^3 \cdot 3} \right)^5$$ + \log \left( \dfrac{3^4}{2^4 \cdot 5} \right)^3$

$= \log \left( \dfrac{2^{28}}{3^7 \cdot 5^7} \right) + \log \left( \dfrac{5^{10}}{2^{15} \cdot 3^5} \right)$$ + \log \left( \dfrac{3^{12}}{2^{12} \cdot 5^3} \right)$

$= \log \left( \dfrac{2^{28}}{3^7 \cdot 5^7} \times \dfrac{5^{10}}{2^{15} \cdot 3^5} \times \dfrac{3^{12}}{2^{12} \cdot 5^3} \right)$

$= \log \left( \dfrac{2^{28} \cdot 3^{12} \cdot 5^{10}}{2^{15+12} \cdot 3^{7+5} \cdot 5^{7+3}} \right)$

$= \log \left( \dfrac{2^{28} \cdot 3^{12} \cdot 5^{10}}{2^{27} \cdot 3^{12} \cdot 5^{10}} \right)$

$= \log (2^{28-27} \cdot 3^{12-12} \cdot 5^{10-10})$

$= \log (2^1 \cdot 3^0 \cdot 5^0)$

$= \log (2 \cdot 1 \cdot 1)$

$= \log 2$

সুতরাং, নির্ণেয় সরলফল $\log 2$। Answer