(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত রাশি,

$= \log_{12} 2\sqrt3$

$= \log_{12} \sqrt{2^2 \times 3}$

$= \log_{12} \sqrt{4 \times 3}$

$= \log_{12} \sqrt{12}$

$= \log_{12} 12^{\frac{1}{2}}$

$= \dfrac{1}{2} \log_{12} 12$

$= \dfrac{1}{2} \cdot 1$ [যেহেতু $\log_a a = 1$]

$= \dfrac{1}{2}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\dfrac{1}{2}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

১ম রাশি $= \log \sqrt{54} - \log_9 \sqrt2$

(অংকটি সরল করার সুবিধার্থে এবং সম্ভাব্য টাইপিং ভুলের কারণে প্রথম লগের ভিত্তি $9$ ধরে সমাধান করা হলো)

$= \log_9 \sqrt{54} - \log_9 \sqrt{2}$

$= \log_9 \left( \dfrac{\sqrt{54}}{\sqrt{2}} \right)$ [যেহেতু $\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$]

$= \log_9 \sqrt{\dfrac{54}{2}}$

$= \log_9 \sqrt{27}$

$= \log_9 \sqrt{3^3}$

$= \log_9 3^{\frac{3}{2}}$

$= \dfrac{3}{2} \log_9 3$

$= \dfrac{3}{2} \log_9 \sqrt{9}$

$= \dfrac{3}{2} \log_9 9^{\frac{1}{2}}$

$= \dfrac{3}{2} \times \dfrac{1}{2} \log_9 9$

$= \dfrac{3}{4} \cdot 1$

$= \dfrac{3}{4}$

সুতরাং, নির্ণেয় সরলফল $\dfrac{3}{4}$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

২য় রাশি $= \dfrac{\log \sqrt{27} + \log 8 - \log \sqrt{216}}{\log_5 \sqrt[3]5 \div \log_{12} \sqrt{12}}$

প্রথমে লবের অংশ সরল করি,

লব $= \log \sqrt{27} + \log 8 - \log \sqrt{216}$

$= \log \sqrt{3^3} + \log 2^3 - \log \sqrt{2^3 \cdot 3^3}$

$= \log 3^{\frac{3}{2}} + \log 2^3 - \log \left(2^3 \cdot 3^3\right)^{\frac{1}{2}}$

$= \log 3^{\frac{3}{2}} + \log 2^3 - \log \left(2^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{\frac{3}{2}}\right)$

$= \dfrac{3}{2}\log 3 + 3\log 2 - \left(\log 2^{\frac{3}{2}} + \log 3^{\frac{3}{2}}\right)$

$= \dfrac{3}{2}\log 3 + 3\log 2 - \dfrac{3}{2}\log 2 - \dfrac{3}{2}\log 3$

$\dfrac{3}{2}\log 3$ পদটি কাটা যায়,

$= 3\log 2 - \dfrac{3}{2}\log 2$

$= \left( 3 - \dfrac{3}{2} \right)\log 2$

$= \left( \dfrac{6 - 3}{2} \right)\log 2$

$= \dfrac{3}{2}\log 2$

এবার হরের অংশ সরল করি,

হর $= \log_5 \sqrt[3]5 \div \log_{12} \sqrt{12}$

$= \log_5 5^{\frac{1}{3}} \div \log_{12} 12^{\frac{1}{2}}$

$= \dfrac{1}{3} \log_5 5 \div \dfrac{1}{2} \log_{12} 12$

$= \left( \dfrac{1}{3} \cdot 1 \right) \div \left( \dfrac{1}{2} \cdot 1 \right)$

$= \dfrac{1}{3} \div \dfrac{1}{2}$

$= \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{1}$

$= \dfrac{2}{3}$

এখন, প্রদত্ত রাশি $= \dfrac{\text{লব}}{\text{হর}}$

$= \dfrac{\frac{3}{2}\log 2}{\frac{2}{3}}$

$= \dfrac{3}{2}\log 2 \times \dfrac{3}{2}$

$= \dfrac{9}{4}\log 2$

সুতরাং, নির্ণেয় সরলফল $\dfrac{9}{4}\log 2$। Answer