(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$a = 2$ এবং $b = 3$

প্রদত্ত রাশি,

$= \left( 2a^{-1} + 3b^{-1} \right)^{-1}$

$= \left( 2 \cdot \dfrac{1}{a} + 3 \cdot \dfrac{1}{b} \right)^{-1}$

মান বসিয়ে পাই,

$= \left( 2 \cdot \dfrac{1}{2} + 3 \cdot \dfrac{1}{3} \right)^{-1}$

$= (1 + 1)^{-1}$

$= 2^{-1}$

$= \dfrac{1}{2}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\dfrac{1}{2}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$a$ এর $x$-তম ঘাত $b$, অর্থাৎ $a^x = b$ ........ (i)

$b$ এর $y$-তম ঘাত $c$, অর্থাৎ $b^y = c$ ........ (ii)

$c$ এর $z$-তম ঘাত $a$, অর্থাৎ $c^z = a$ ........ (iii)

সমীকরণ (iii) হতে পাই,

$a = c^z$

বা, $a = (b^y)^z$ [সমীকরণ (ii) হতে $c$ এর মান বসিয়ে]

বা, $a = b^{yz}$

বা, $a = (a^x)^{yz}$ [সমীকরণ (i) হতে $b$ এর মান বসিয়ে]

বা, $a^1 = a^{xyz}$

উভয়পক্ষ থেকে ভিত্তি $a$ বাদ দিয়ে পাই,

$1 = xyz$

বা, $xyz = 1$

সুতরাং, $x$, $y$ এবং $z$ এর গুণফল $1$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

সূচকীয় সমীকরণটি হলো: $2^x + 2^{1-x} = 3$

বা, $2^x + \dfrac{2^1}{2^x} = 3$

ধরি, $2^x = p$

তাহলে প্রদত্ত সমীকরণটি দাঁড়ায়,

$p + \dfrac{2}{p} = 3$

বা, $\dfrac{p^2 + 2}{p} = 3$

বা, $p^2 + 2 = 3p$

বা, $p^2 - 3p + 2 = 0$

বা, $p^2 - 2p - p + 2 = 0$

বা, $p(p - 2) - 1(p - 2) = 0$

বা, $(p - 2)(p - 1) = 0$

হয়,

$p - 2 = 0$

বা, $p = 2$

বা, $2^x = 2^1$ [$p$ এর মান বসিয়ে]

$\therefore x = 1$

অথবা,

$p - 1 = 0$

বা, $p = 1$

বা, $2^x = 2^0$ [যেহেতু $2^0 = 1$]

$\therefore x = 0$

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান $x = 1$ অথবা $x = 0$। Answer