(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত রাশি,

$= \left\lbrace \left( x^{-1} + y^{-1} \right)^{-1} \right\rbrace^{-1}$

$= \left( x^{-1} + y^{-1} \right)^{-1 \times -1}$

$= \left( x^{-1} + y^{-1} \right)^1$

$= x^{-1} + y^{-1}$

$= \frac{1}{x} + \dfrac{1}{y}$

$= \frac{y + x}{xy}$

$= \frac{x + y}{xy}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\frac{x + y}{xy}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$l = a^2 + ab + b^2$

$m = b^2 + bc + c^2$

$n = c^2 + ca + a^2$

বামপক্ষ,

$= \frac{\left( p^a \cdot p^b \right)^{l-2ab}}{p^{a^3} \cdot p^{b^3}}$$ + \frac{\left( p^b \cdot p^c \right)^{m-2bc}}{p^{b^3} \cdot p^{c^3}}$$ + \frac{\left( p^c \cdot p^a \right)^{n-2ca}}{p^{c^3} \cdot p^{a^3}}$

মান বসিয়ে পাই,

$= \frac{\left( p^{a+b} \right)^{a^2+ab+b^2-2ab}}{p^{a^3+b^3}}$$ + \frac{\left( p^{b+c} \right)^{b^2+bc+c^2-2bc}}{p^{b^3+c^3}}$$ + \frac{\left( p^{c+a} \right)^{c^2+ca+a^2-2ca}}{p^{c^3+a^3}}$

$= \frac{\left( p^{a+b} \right)^{a^2-ab+b^2}}{p^{a^3+b^3}}$$ + \frac{\left( p^{b+c} \right)^{b^2-bc+c^2}}{p^{b^3+c^3}}$$ + \frac{\left( p^{c+a} \right)^{c^2-ca+a^2}}{p^{c^3+a^3}}$

$= \frac{p^{(a+b)(a^2-ab+b^2)}}{p^{a^3+b^3}}$$ + \frac{p^{(b+c)(b^2-bc+c^2)}}{p^{b^3+c^3}}$$ + \frac{p^{(c+a)(c^2-ca+a^2)}}{p^{c^3+a^3}}$

বীজগাণিতিক সূত্র $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3$ প্রয়োগ করে পাই,

$= \frac{p^{a^3+b^3}}{p^{a^3+b^3}} + \dfrac{p^{b^3+c^3}}{p^{b^3+c^3}} + \dfrac{p^{c^3+a^3}}{p^{c^3+a^3}}$

$= 1 + 1 + 1$

$= 3$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $\frac{\left( p^a \cdot p^b \right)^{l-2ab}}{p^{a^3} \cdot p^{b^3}}$$ + \frac{\left( p^b \cdot p^c \right)^{m-2bc}}{p^{b^3} \cdot p^{c^3}}$$ + \frac{\left( p^c \cdot p^a \right)^{n-2ca}}{p^{c^3} \cdot p^{a^3}}$$ = 3$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$R = \frac{m^{\frac32} + mn}{mn - n^3} - \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}-n}$

$R$ এর সরলীকরণ করি,

$= \frac{m\sqrt{m} + mn}{n(m - n^2)} - \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}-n}$

$= \frac{m(\sqrt{m} + n)}{n\{(\sqrt{m})^2 - n^2\}} - \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}-n}$

$= \frac{m(\sqrt{m} + n)}{n(\sqrt{m} - n)(\sqrt{m} + n)} - \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}-n}$

$= \frac{m}{n(\sqrt{m} - n)} - \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}-n}$

$= \frac{m - n\sqrt{m}}{n(\sqrt{m} - n)}$

$= \frac{\sqrt{m}(\sqrt{m} - n)}{n(\sqrt{m} - n)}$

$= \frac{\sqrt{m}}{n}$

সুতরাং, নির্ণেয় সরলফল $\frac{\sqrt{m}}{n}$। Answer