(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত রাশি,

$= \log_{7}\left( \sqrt[3]7 \cdot \sqrt7 \right)$

$= \log_{7}\left( 7^{\frac{1}{3}} \cdot 7^{\frac{1}{2}} \right)$

$= \log_{7}\left( 7^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}} \right)$

$= \log_{7}\left( 7^{\frac{2+3}{6}} \right)$

$= \log_{7}\left( 7^{\frac{5}{6}} \right)$

$= \dfrac{5}{6} \log_{7}7$

$= \dfrac{5}{6} \cdot 1$ [যেহেতু $\log_a a = 1$]

$= \dfrac{5}{6}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\dfrac{5}{6}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$y=3$

প্রদত্ত রাশি,

$= \dfrac{y^{a+1}}{(y^a)^{a-1}} \div \dfrac{(3y)^{a+1}}{(y^{a+1})^{a-1}} \times \dfrac{1}{y^{-2}}$

মান বসিয়ে পাই,

$= \dfrac{3^{a+1}}{(3^a)^{a-1}} \div \dfrac{(3 \cdot 3)^{a+1}}{(3^{a+1})^{a-1}} \times \dfrac{1}{3^{-2}}$

$= \dfrac{3^{a+1}}{3^{a^2-a}} \div \dfrac{(3^2)^{a+1}}{3^{a^2-1}} \times 3^2$

$= 3^{(a+1) - (a^2-a)} \div \dfrac{3^{2a+2}}{3^{a^2-1}} \times 3^2$

$= 3^{a+1-a^2+a} \div 3^{(2a+2) - (a^2-1)} \times 3^2$

$= 3^{-a^2+2a+1} \div 3^{2a+2-a^2+1} \times 3^2$

$= 3^{-a^2+2a+1} \div 3^{-a^2+2a+3} \times 3^2$

$= 3^{(-a^2+2a+1) - (-a^2+2a+3)} \times 3^2$

$= 3^{-a^2+2a+1+a^2-2a-3} \times 3^2$

$= 3^{-2} \times 3^2$

$= 3^{-2+2}$

$= 3^0$

$= 1$

সুতরাং, নির্ণেয় সরলফল $1$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$x=2$, $y=3$ এবং $z=5$

বামপক্ষ,

$= \left( \log \sqrt{y^3} + \log x^3 - \log \sqrt{x^3 z^3} \right)$$ \div \log 1.2$

মান বসিয়ে পাই,

$= \left( \log \sqrt{3^3} + \log 2^3 - \log \sqrt{2^3 \cdot 5^3} \right)$$ \div \log 1.2$

$= \left( \log \left(3^3\right)^{\frac{1}{2}} + 3\log 2 - \log \left(10^3\right)^{\frac{1}{2}} \right)$$ \div \log 1.2$

$= \left( \log 3^{\frac{3}{2}} + 3\log 2 - \log 10^{\frac{3}{2}} \right)$$ \div \log 1.2$

$= \left( \dfrac{3}{2}\log 3 + \dfrac{3}{2} \cdot 2\log 2 - \dfrac{3}{2}\log 10 \right)$$ \div \log 1.2$

$= \left( \dfrac{3}{2}\log 3 + \dfrac{3}{2}\log 2^2 - \dfrac{3}{2}\log 10 \right)$$ \div \log 1.2$

$= \left( \dfrac{3}{2}\log 3 + \dfrac{3}{2}\log 4 - \dfrac{3}{2}\log 10 \right)$$ \div \log 1.2$

$= \dfrac{3}{2} (\log 3 + \log 4 - \log 10)$$ \div \log 1.2$

$= \dfrac{3}{2} \log \left( \dfrac{3 \times 4}{10} \right)$$ \div \log 1.2$

$= \dfrac{3}{2} \log \left( \dfrac{12}{10} \right)$$ \div \log 1.2$

$= \dfrac{3}{2} \log 1.2 \div \log 1.2$

$= \dfrac{3}{2} \times \dfrac{\log 1.2}{\log 1.2}$

$= \dfrac{3}{2}$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $\left( \log \sqrt{y^3} + \log x^3 - \log \sqrt{x^3 z^3} \right) \div \log 1.2 = \frac{3}{2}$ Shown