সসীম ধারা

৯ম, ১০ম, SSC
| সকল সৃজনশীল প্রশ্নের সমাধান

১ একটি সমান্তর ধারার ষষ্ঠ পদ $30$ এবং একাদশতম পদ $55$।

• (ক) প্রথম পদকে $a$ এবং সাধারণ অন্তরকে $d$ ধরে দুইটি সমীকরণ গঠন কর।
• (খ) উদ্দীপক অনুসারে ধারাটি গঠন কর।
• (গ) যদি ধারাটির $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $6375$ হয় তবে $n$ এর মান নির্ণয় কর।

২ ($i$) একটি সমান্তর ধারার $p$ তম পদ $a$, $q$ তম পদ $b$ এবং $r$ তম পদ $c$
($ii$) $\log2 + \log4 + \log8 + \cdots \cdots \cdots$ অপর একটি ধারা।

• (ক) $7 + 11 + 15 + \cdots \cdots \cdots$ ধারার $120$ তম পদ নির্ণয় কর।
• (খ) ($ii$) নং ধারাটির প্রথম $15$ পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (গ) ($i$) নং এর সমান্তর ধারার ক্ষেত্রে দেখাও যে, $a(q-r)+b(r-p)+c(p-q)=0$

৩ $1760$ মিটার লম্বা একটি ফিতাকে $20$ টুকরা করা হলো যেখানে টুকরাগুলোর দৈর্ঘ্য একটি সমান্তর ধারা গঠন করে। ক্ষুদ্রতম টুকরাটির দৈর্ঘ্য $12$ মিটার।

• (ক) সাধারণ অন্তর $d$ ধরে প্রদত্ত তথ্যটিকে সমীকরণ আকারে প্রকাশ কর।
• (খ) $d$ এর মান ও বড় টুকরার মান নির্ণয় কর।
• (গ) শেষ দশটি টুকরার মোট দৈর্ঘ্য কত?

৪ $9+7+5+ \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $-144$

• (ক) ধারাটির ৬ষ্ঠ পদ নির্ণয় কর।
• (খ) ধারাটির কত তম পদ $-33$ নির্ণয় কর।
• (গ) $n$ এর মান নির্ণয় কর।

৫ একটি সমান্তর ধারার প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $\dfrac{n}{2}\left(3n+7\right)$ যখন $n \in N$

• (ক) ধারাটির প্রথম $10$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (খ) ধারাটির প্রথম $r$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $3925$ হলে, $r$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) ধারাটির কোন পদ $383$?

৬ একটি সমান্তর ধারার প্রথম $12$ পদের সমষ্টি $144$ এবং প্রথম $20$ পদের সমষ্টি $560$

• (ক) প্রদত্ত তথ্যের আলোকে দুইটি সমীকরণ গঠন কর।
• (খ) ধারাটির প্রথম $10$ পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (গ) ধারাটির প্রথম $n$ পদের সমষ্টি $320$ হলে, $n$ এর মান নির্ণয় কর।

৭ কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ $7$ এবং সাধারণ অন্তর $9$

• (ক) $(-2)^n \dfrac{n}{2n+1}$ সাধারণ পদটির অনুক্রমগুলি লিখ।
• (খ) ধারাটির শেষ পদ $196$ হলে ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (গ) ধারাটির $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $4125$ হলে, $n$ এর মান নির্ণয় কর।

৮ $\log 2 + \log 4 + \log 8 + \cdots$

• (ক) $8+11+14+17+ \cdots$ ধারাটির কোন পদ $395$?
• (খ) ধারাটির কোন পদ $\log 4096$?
• (গ) ধারাটির $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $1830 \log 2$ হলে, $n$ এর মান কত?

৯ একটি সমান্তর ধারার $12$ তম পদ $77$ এবং $19$ তম পদ $91$

• (ক) $7+12+17+ \cdots$ সমান্তর ধারাটির $25$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (খ) ধারাটির প্রথম $37$ পদের সমষ্টি কত?
• (গ) ধারাটির কোন পদ $119$ তা নির্ণয় কর।

১০ দৃশ্যকল্প-১: একটি সমান্তর ধারার প্রথম $19$টি পদের সমষ্টি $1881$ যার সাধারণ অন্তর $8$
দৃশ্যকল্প-২: $3+21+39+ \cdots$ একটি সমান্তর ধারা।

• (ক) $(-1)^n \dfrac{2}{3n+1}$ সাধারণ পদটির অনুক্রমটি লিখ।
• (খ) প্রমাণ কর যে, দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত ধারাটির প্রথম $(n+1)$ পদের সমষ্টির সাথে $1$ যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে।
• (গ) দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত ধারাটির $24$ তম পদ নির্ণয় কর।

১১ $9+7+5+ \cdots$ ধারাটির $n$ সংখ্যক পদের যোগফল $-200$

• (ক) $5+9+13+17+ \cdots$ সমান্তর ধারাটির ১ম দশটি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (খ) ধারাটির কত তম পদ $-11$?
• (গ) $n$ এর মান নির্ণয় কর।

১২ একটি সমান্তর ধারার $6$ তম পদ $65$ এবং $12$ তম পদ $77$

• (ক) উপরের তথ্যের আলোকে দুটি সমীকরণ গঠন কর।
• (খ) ধারার প্রথম $23$ পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (গ) ধারাটি নির্ণয় কর এবং ধারার কততম পদ $99$ তা নির্ণয় কর।

১৩ $10+13+16+ \cdots +289$ একটি ধারা।

• (ক) ধারাটির দশম পদ কত?
• (খ) ধারাটির কোন পদ $199$?
• (গ) প্রদত্ত ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি $578$ হলে, $n$ এর মান নির্ণয় কর।

১৪ এক ব্যক্তি $10000$ টাকার একটি ঋণ কিছু সংখ্যক কিস্তিতে পরিশোধ করতে রাজী হন। প্রত্যেক কিস্তি পূর্বের কিস্তির চেয়ে $8$ টাকা বেশি। প্রথম কিস্তি ছিলো $4$ টাকা।

• (ক) তার ঋণ পরিশোধের ধারাটি নির্ণয় কর।
• (খ) কতগুলো কিস্তিতে ঐ ব্যক্তি তার ঋণ শোধ করতে পারবেন?
• (গ) যদি তাকে মূল টাকার সাথে অতিরিক্ত $25\%$ সুদ দিতে হত, তাহলে প্রদেয় সুদকে ধারার সাহায্যে প্রকাশ করে মোট সুদের পরিমাণ নির্ণয় কর।

১৫ একটি ধারা $a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d)+ \cdots +p$ এর পদসংখ্যা $n$ এবং পদগুলোর সমষ্টি $S$

• (ক) $a=29$ এবং $d=-4$ হলে ধারাটির ৮ম পদ কত?
• (খ) ধারাটির $m$ তম পদ $n^2$ এবং $n$ তম পদ $m^2$ হলে, $(m+n)$ তম পদ কত?
• (গ) প্রমাণ কর যে, $S$ এর মান $\dfrac{n}{2} \left\{2a+(n-1)d\right\}$

১৬ একটি সমান্তর ধারার $m$ তম পদ $m$ এবং $n$ তম পদ $n$

• (ক) সমান্তর ধারার সাধারণ পদ ও $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টির সূত্র লিখ।
• (খ) সমান্তর ধারাটির $(m+n-2)$ তম পদ নির্ণয় কর।
• (গ) $m=5$ হলে, ধারাটির প্রথম $50$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

১৭ (i) একটি সমান্তর ধারার $13$ তম পদ $85$
(ii) একটি গুণোত্তর ধারার ৪র্থ পদ $3 \sqrt{3}$ এবং সপ্তম পদ $8$

• (ক) $4+7+10+ \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির কোন পদ $181$? নির্ণয় কর।
• (খ) (i) নং উদ্দীপকের সাহায্যে ধারাটির ১ম $25$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (গ) (ii) নং উদ্দীপকের সাহায্যে দেখাও যে, ধারাটির প্রথম $10$টি পদের সমষ্টি $\frac{781}{24\left(2\sqrt{3}-3\right)}$

১৮ (i) একটি সমান্তর ধারার $14$ তম পদ $37$ এবং $19$ তম পদ $52$
(ii) কোনো গুণোত্তর ধারার সপ্তম পদ $\dfrac{\sqrt2}{27}$ এবং দশম পদ $\dfrac{\sqrt2}{81\sqrt3}$

• (ক) $2-5-12-19 - \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির $15$ তম পদ নির্ণয় কর।
• (খ) (i) নং হতে ধারাটির প্রথম $10$ পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (গ) (ii) নং হতে গুণোত্তর ধারাটি নির্ণয় কর।

১৯ একটি সমান্তর ধারার $19$ তম পদ $74$ এবং $26$ তম পদ $102$। একটি গুণোত্তর ধারা $\dfrac{1}{\sqrt3}+p+q+r+3\sqrt3$

• (ক) $1^2+2^2+3^2+ \cdots \cdots \cdots +10^2=$ কত?
• (খ) গুণোত্তর ধারাটির $p$, $q$ ও $r$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) উদ্দীপকের সমান্তর ধারাটির প্রথম $31$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

২০ একটি সমান্তর ধারার প্রথম $6$ টি পদের সমষ্টি $75$ এবং প্রথম $10$ টি পদের সমষ্টি $185$. আবার একটি গুণোত্তর ধারার চতুর্থ পদ $\dfrac{1}{16}$ এবং সপ্তম পদ $\dfrac{1}{128}$

• (ক) $8+11+14+ \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির কোন পদ $383$, তা নির্ণয় কর।
• (খ) সমান্তর ধারাটির $17$ তম পদ নির্ণয় কর।
• (গ) গুণোত্তর ধারাটির প্রথম $6$ টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

২১ একটি গুণোত্তর ধারার ৪র্থ পদ $\dfrac{1}{3\sqrt6}$ এবং ৭ম পদ $\dfrac{1}{27\sqrt2}$ এবং অপর একটি সমান্তর ধারার প্রথম $12$ পদের সমষ্টি $348$ এবং প্রথম $17$ পদের সমষ্টি $663$.

• (ক) $9+6+3+ \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির কোন পদ $-201$?
• (খ) গুণোত্তর ধারাটি নির্ণয় কর।
• (গ) সমান্তর ধারার $34$ তম পদ নির্ণয় কর।

২২ একটি সমান্তর ধারার ১ম পদ $3$, সাধারণ অন্তর $4$.

• (ক) $10+7+4+ \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির ১০ম পদ নির্ণয় কর।
• (খ) ধারাটির প্রথম $n$ পদের সমষ্টি $903$ হলে $n$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) ধারাটির সাধারণ অন্তরকে ১ম পদ এবং ১ম পদ কে সাধারণ অনুপাত ধরে একটি গুণোত্তর ধারা গঠন কর এবং তার প্রথম $7$ টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

২৩ কোনো সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর $2$ এবং ধারাটির প্রথম $10$টি পদের সমষ্টি $120$ এবং একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ $5$ ও চতুর্থ পদ $625$

• (ক) $1^3+2^3+3^3+ \cdots \cdots \cdots +10^3$ ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (খ) সমান্তর ধারাটির $15$ তম পদ নির্ণয় কর।
• (গ) গুণোত্তর ধারাটির প্রথম $7$ টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

২৪ $5+7+9+11+ \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $165$ এবং একটি গুণোত্তর ধারার ৩য় পদ $\dfrac{1}{\sqrt3}$ এবং দশম পদ $\dfrac{1}{81}$।

• (ক) $1^3 +2^3 +3^3+ \cdots \cdots \cdots +15^3$ ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (খ) $n$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) গুণোত্তর ধারাটি নির্ণয় কর।

২৫ (i) কোনো সমান্তর ধারার $x$ তম পদ $y$ এবং $y$ তম পদ $x$
(ii) একটি গুণোত্তর ধারার ২য় পদ $-1$ এবং ৪র্থ পদ $-1$; $(r < 1)$

• (ক) $1^3+2^3+3^3+ \cdots \cdots \cdots +10^3$ এর মান সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় কর।
• (খ) (i) এ $x=10$, $y=16$ হলে ১ম $26$ টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (গ) (ii) এ বর্ণিত ধারাটি নির্ণয় করে $(2n-1)$ সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

২৬ (i) $3+6+12+ \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির প্রথম $t$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $1533$
(ii) একটি সমান্তর ধারার $p$ তম পদ $q^2$ এবং $q$ তম পদ $p^2$

• (ক) $7+10+13+16+ \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির কোন পদ $160$ তা নির্ণয় কর।
• (খ) $t$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) সমান্তর ধারাটির $(p-1+q)$ তম পদ নির্ণয় কর।

২৬ (i) $3+6+12+ \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির প্রথম $t$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $1533$
(ii) একটি সমান্তর ধারার $p$ তম পদ $q^2$ এবং $q$ তম পদ $p^2$

• (ক) $7+10+13+16+ \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির কোন পদ $160$ তা নির্ণয় কর।
• (খ) $t$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) সমান্তর ধারাটির $(p-1+q)$ তম পদ নির্ণয় কর।

২৮ (i) $7+p+q+s+16807+ \cdots \cdots \cdots$ একটি গুণোত্তর ধারা
(ii) $7+12+17+22+ \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির ১ম $n$ সংখ্যক পদের যোগফল $1090$.

• (ক) $4+7+10+ \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির কোন পদ $304$? নির্ণয় কর।
• (খ) $p$, $q$, $s$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) (ii) নং ব্যবহার করে $n$ এর মান নির্ণয় কর।

২৯ (i) একটি গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ $\dfrac{1}{\sqrt3}$ এবং অষ্টম পদ $\dfrac{1}{27}$
(ii) অপর একটি সমান্তর ধারার ১ম $10$ পদের সমষ্টি $155$ এবং ১ম $20$ পদের সমষ্টি $610$

• (ক) $5+8+11+ \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির কোন পদ $383$?
• (খ) গুণোত্তর ধারাটি নির্ণয় কর।
• (গ) সমান্তর ধারাটির $30$ তম পদ নির্ণয় কর।

৩০ (i) একটি গুণোত্তর ধারার ৬ষ্ঠ পদ $-\dfrac{\sqrt3}{9}$ এবং ১০ম পদ $-\dfrac{1}{27\sqrt3}$
(ii) কোনো সমান্তর ধারার ১ম $10$টি পদের সমষ্টি $150$ এবং ১ম $20$টি পদের সমষ্টি $500$

• (ক) $3+7+11+ \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির কোন পদ $399$?
• (খ) গুণোত্তর ধারাটি নির্ণয় কর।
• (গ) সমান্তর ধারার $35$ তম পদ নির্ণয় কর।

৩১ (i) একটি সমান্তর ধারার $15$ তম পদ $89$ এবং $21$ তম পদ $125$
(ii) অপর একটি গুণোত্তর ধারা $-\dfrac{1}{2}+x+y+z-2+ \cdots \cdots \cdots$

• (ক) $7+11+15+ \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির $210$ তম পদ নির্ণয় কর।
• (খ) উদ্দীপকের সমান্তর ধারাটির $25$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (গ) উদ্দীপকের গুণোত্তর ধারাটির $x$, $y$ ও $z$ এর মান নির্ণয় কর।

৩২ $3+6+9+12+ \cdots \cdots \cdots$

• (ক) প্রথম $20$টি স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (খ) ধারার $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $630$ হলে, $n$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) ধারার ১ম পদকে ১ম পদ এবং সাধারণ অন্তরকে সাধারণ অনুপাত ধরে একটি গুণোত্তর ধারা তৈরি কর এবং ধারাটির ১ম $10$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

৩৩ (i) কোনো সমান্তর ধারার প্রথম $m$ পদের সমষ্টি $n$ এবং প্রথম $n$ পদের সমষ্টি $m$.
(ii) একটি গুণোত্তর ধারার অষ্টম পদ $-27$ এবং একাদশ পদ $81\sqrt3$.

• (ক) প্রথম $p$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি $441$ হলে, $p$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) সমান্তর ধারাটির প্রথম $(m+n)$ পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (গ) গুণোত্তর ধারাটির দশম পদ নির্ণয় কর।

৩৪ একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ $a$, সাধারণ অনুপাত $r$, ধারাটির চতুর্থ পদ $-2$ এবং নবম পদ $8\sqrt2$.

• (ক) উপরোক্ত তথ্যগুলোকে দুইটি সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ কর।
• (খ) ধারাটির $11$তম পদ নির্ণয় কর।
• (গ) ধারাটি নির্ণয় করে সূত্রের সাহায্যে প্রথম $5$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

৩৫ একটি গুণোত্তর ধারার পঞ্চম পদ $\dfrac{2\sqrt3}{9}$ এবং দশম পদ $\dfrac{8\sqrt2}{81}$

• (ক) $\dfrac{1}{2}$, $-\dfrac{1}{\sqrt2}$, $1$, $-\sqrt2$ $\cdots \cdots$ অনুক্রমটিকে ধারা আকারে প্রকাশ কর এবং সাধারণ অনুপাত নির্ণয় কর।
• (খ) উদ্দীপকে উল্লেখিত ধারাটির ১ম পদ নির্ণয় কর।
• (গ) ধারাটি নির্ণয় কর এবং প্রথম দশটি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

৩৬ (i) কোনো সমান্তর ধারার দুইটি নির্দিষ্ট পদ, $p$ তম পদ $p^2$ এবং $q$ তম পদ $q^2$
(ii) কোনো গুণোত্তর ধারার $(p+q)$ তম পদ $p^2$ এবং $(p-q)$ তম পদ $q^2$

• (ক) সমান্তর ধারার প্রথম পদ $a$ এবং সাধারণ অন্তর $d$ ধরে উদ্দীপকের আলোকে দুইটি সমীকরণ গঠন কর।
• (খ) প্রমাণ কর যে, সমান্তর ধারার প্রথম $(p+q)$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $=\dfrac{p+q}{2}\left(p^2+q^2+p+q\right)$
• (গ) গুণোত্তর ধারটির প্রথম পদ $a$ ও সাধারণ অনুপাত $r$ হলে, ধারাটির $p$ তম পদ নির্ণয় কর।

৩৭ (i) একটি গুণোত্তর ধারার $6$ তম পদ $\dfrac{\sqrt3}{4\sqrt2}$ এবং $9$ তম পদ $\dfrac{\sqrt3}{16}$
(ii) $5+7+9+11+ \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির প্রথম $n$ টি পদের সমষ্টি $221$

• (ক) $1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+ \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির প্রথম $6$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (খ) গুণোত্তর ধারাটি নির্ণয় কর।
• (গ) $n$ এর মান নির্ণয় কর।

৩৮ (i) $6+x+y+z+96+ \cdots \cdots \cdots$ একটি গুণোত্তর ধারা, $x,y,z > 0$
(ii) একটি গুণোত্তর ধারার সাধারণ পদ $8 \sqrt2 \left(-\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^a$

• (ক) (ii) এর ধারাটির ১ম পদ নির্ণয় কর।
• (খ) (i) এর ধারাটি হতে $x$, $y$ ও $z$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) (ii) এর ধারাটির $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $-\dfrac{16\sqrt2 +1}{2\left(\sqrt2 +1\right)}$ হয়, তবে $n$ এর মান নির্ণয় কর।

৩৯ দৃশ্যকল্প-১: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ $4$ এবং সাধারণ অনুপাত $3$.
দৃশ্যকল্প-২: $1^2+3^2+5^2+ \cdots +17^2$ একটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টির ধারা।

• (ক) $3+9+27+ \cdots$ ধারাটির অষ্টম পদ নির্ণয় কর।
• (খ) দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত ধারাটি নির্ণয় করে প্রথম $10$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (গ) দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় কর।

৪০ তরী তার উপবৃত্তির টাকা হতে ২০১৭ সালের জানুয়ারি মাসে $1$ টাকা, ফেব্রুয়ারি মাসে $8$ টাকা, মার্চ মাসে $27$ টাকা এভাবে সোনালী ব্যাংকে টাকা জমা রাখতে থাকে।

• (ক) প্রথম পদ $\dfrac{1}{\sqrt3}$ সাধারণ অনুপাত $-\sqrt3$ এবং শেষ পদ $27\sqrt3$ হলে, ধারাটির পদ সংখ্যা নির্ণয় কর।
• (খ) ২০১৭ সালের ডিসেম্বর মাসে সে কত টাকা জমা দিবে এবং ঐ সময় পর্যন্ত তার ব্যাংকে কত টাকা জমা হবে?
• (গ) কত বছরে তার ব্যাংকে $90,000$ টাকা জমা হবে?

৪১ দৃশ্যকল্প-১: একটি $2046$ মিটার লম্বা ফিতা কেটে এমনভাবে টুকরা করা হল যেন প্রথম টুকরাটির দৈর্ঘ্য $2$ মিটার এবং পরবর্তী প্রতিটি টুকরার দৈর্ঘ্য তার পূর্ববর্তী টুকরার দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ।
দৃশ্যকল্প-২: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ $4$ এবং সাধারণ অনুপাত $3$।

• (ক) পরবর্তী প্রতিটি টুকরার দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ না হয়ে তার পূর্ববর্তী টুকরার চেয়ে $2$ মিটার বেশি হলে, $19$তম টুকরার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
• (খ) দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত ধারাটি নির্ণয় করে প্রথম $10$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।
• (গ) যদি প্রতিটি টুকরার দৈর্ঘ্য তার পূর্ববর্তী টুকরার দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ হত তাহলে কয়টি টুকরা করা যেত?

৪২ (i) $\dfrac{1}{\sqrt2}-1+\sqrt2 - \cdots \cdots \cdots$ একটি গুণোত্তর ধারা।
(ii) $3bx^2-4ax+3b=0$

• (ক) দুইটি সংখ্যার অনুপাত $3:7$ এবং ল.সা.গু. $168$ হলে, সংখ্যা দুইটি নির্ণয় কর।
• (খ) প্রমাণ কর যে, $x=\dfrac{\sqrt{2a+3b}+\sqrt{2a-3b}}{\sqrt{2a+3b}-\sqrt{2a-3b}}$
• (গ) ধারাটির প্রথম $10$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

৪৩ $p=\dfrac{\sqrt{3x+2y}+\sqrt{3x-2y}}{\sqrt{3x+2y}-\sqrt{3x-2y}}$ এবং একটি গুণোত্তর ধারার ১ম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $2^{n+2}-4$

• (ক) দুইটি সংখ্যার অনুপাত $7:11$ এবং এদের গ.সা.গু. $3$ হলে, সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. নির্ণয় করো।
• (খ) প্রমাণ করো যে, $p^2y-3px+y=0$
• (গ) গুণোত্তর ধারাটি নির্ণয় করো।

৪৪ (i) $\dfrac{6}{x}=p^{-1}+q^{-1}$
(ii) $6+b+c+162+d$ একটি গুণোত্তর ধারা।

• (ক) $8+11+14+17+ \cdots \cdots \cdots$ ধারার $m$ তম পদ নির্ণয় কর।
• (খ) (ii) নং হতে $b$ এবং $d$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) (i) নং হতে প্রমাণ কর যে, $\dfrac{x+3p}{x-3p} + \dfrac{x+3q}{x-3q}=2$, যেখানে $p \neq q$

৪৫ $7+12+17+ \cdots \cdots \cdots$ একটি সমান্তর ধারা এবং একটি গুণোত্তর ধারার ৫ম পদ $=3\sqrt3$ ও ৮ম পদ $=-27$

• (ক) $4x+3y=6$ ও $x-2y=7$ সমীকরণদ্বয় এর সমাধান কর।
• (খ) সমান্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি $1197$ হলে $n$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) গুণোত্তর ধারাটি নির্ণয় কর।

৪৬ ১ম ধারা: $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{\sqrt2}+1+ \cdots \cdots \cdots$
২য় ধারা: $4+7+10+ \cdots \cdots \cdots$

• (ক) $x(x-a)=(x-a)$ সমীকরণের সমাধান সেট নির্ণয় কর।
• (খ) ১ম ধারার প্রথম দশ পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (গ) ২য় ধারাটির প্রথম $n$ পদের সমষ্টি $714$ হলে, $n$ এর মান নির্ণয় কর।

৪৭ (i) $\dfrac{1}{\sqrt5}-1+\sqrt5- \cdots \cdots \cdots$ একটি গুণোত্তর ধারা।
(ii) $(ax-cy,a^2-c^2)=(0,ay-cx)$

• (ক) $5+17+29+ \cdots \cdots \cdots$ ধারটির কোন পদ $101$, তা নির্ণয় কর।
• (খ) (i) হতে ধারাটির কততম পদ $3125\sqrt5$, তা নির্ণয় কর।
• (গ) (ii) হতে আড়গুণন পদ্ধতিতে সমাধান কর।

৪৮ (i) $y^2=xy$
(ii) একটি গুণোত্তর ধারার ৩য় পদ $\dfrac{1}{\sqrt3}$ এবং ৬ষ্ঠ পদ $\dfrac{2\sqrt2}{9}$

• (ক) $10+7+4+ \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির কোন পদ $-80$?
• (খ) $\dfrac{x^2+y^2}{y^2+z^2}=\dfrac{(x+y)^2}{(y+z)^2}$ হলে, উদ্দীপকের (i) নং প্রতিষ্ঠিত কর।
• (গ) (ii) নং উদ্দীপকের আলোকে ধারাটির নবম পদ নির্ণয় কর।

৪৯ একটি গুণোত্তর ধারার চতুর্থ পদ $2$ এবং নবম পদ $8\sqrt2$

• (ক) $x-2y+1=0$, $2x+y-3=0$ সমীকরণ জোটটি সমঞ্জস কিনা এবং কয়টি সমাধান আছে?
• (খ) ধারাটির $14$ তম পদ নির্ণয় কর।
• (গ) দেখাও যে, ধারাটির ১ম $12$টি পদের সমষ্টি $\dfrac{63\left(2+\sqrt2\right)}{2}$

৫০ $M=\dfrac{x-a}{a^2-b^2}$, $N=\dfrac{x-b}{b^2-a^2}$
একটি সমান্তর ধারার $m$ তম পদ $n$ এবং $n$ তম পদ $m$
একটি গুণোত্তর ধারার ১ম তিন পদের সমষ্টি $14$ এবং ১ম দুই পদের সমষ্টি $6$

• (ক) $M=N$ হলে, $x$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) সমান্তর ধারার ১ম $(m+n)$ পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (গ) গুণোত্তর ধারার সাধারণ অনুপাত পূর্ণসংখ্যার জন্য প্রথম $8$ পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

৫১ একটি সমান্তর ধারার $p$ তম পদ $(p+q)^2$ ও $q$ তম পদ $(p-q)^2$ এবং $\dfrac{x}{22}=\dfrac{mn}{m+n}$

• (ক) প্রথম $12$টি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (খ) দেখাও যে, $\dfrac{x+11m}{x-11m}+\dfrac{x+11n}{x-11n}=2$
• (গ) সমান্তর ধারাটির $(p-q)$ তম পদ নির্ণয় কর।

৫২ $x=3$, $y=2$, $z=5$

• (ক) $z+yz+xz+ \cdots \cdots \cdots$ ধারার $11$ তম পদ নির্ণয় কর।
• (খ) দেখাও যে, $\left( \log_{10}x\sqrt x - \log_{10}\dfrac{1}{y^x} - \log_{10}xy\sqrt{yx} \right) \div \log_{10}\dfrac{xy}{x} = \log_z \sqrt{z^x}$
• (গ) গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ $\dfrac{1}{\sqrt x}$ এবং $10$তম পদ $\dfrac{1}{x^4}$ হলে, ধারাটির প্রথম $10$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

৫৩ (i) $6+m+n+p+\dfrac{3}{8}$ একটি গুণোত্তর ধারা।
(ii) কোনো সমান্তর ধারার প্রথম $p$ পদের সমষ্টি $q$ এবং প্রথম $q$ পদের সমষ্টি $p$

• (ক) $2$, $x$ এবং $32$ ক্রমিক সমানুপাতী হলে, $x$ এর মান নির্ণয় কর, (যেখানে $x > 0$)
• (খ) (i)নং হতে $m$, $n$ ও $p$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) (ii)নং হতে প্রথম $(p+q)$ পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

৫৪ $3+a+9+ \cdots \cdots \cdots +60$ একটি সমান্তর ধারা।

• (ক) $a$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (গ) ধারাটির ১ম পদকে ১ম পদ এবং সাধারণ অন্তরকে সাধারণ অনুপাত ধরে একটি গুণোত্তর ধারা গঠন করে তার ১ম $9$টি পদের সমষ্টি সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় কর।

৫৫ একটি গুণোত্তর ধারার ৩য় পদ $\dfrac{1}{\sqrt3}$ এবং ৮ম পদ $\dfrac{1}{27}$, আবার একটি সমান্তর ধারার প্রথম $10$টি পদের সমষ্টি $155$ এবং প্রথম $20$টি পদের সমষ্টি $610$।

• (ক) $1^2+2^2+3^2+ \cdots \cdots \cdots + 20^2=$ কত?
• (খ) গুণোত্তর ধারাটির $10$তম পদ নির্ণয় কর।
• (গ) সমান্তর ধারাটির প্রথম $13$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

৫৬ কোনো সমান্তর ধারার $p$ তম পদ $p^2$ এবং $q$ তম পদ $q^2$, অপর একটি গুণোত্তর ধারার ৩য় পদ $\dfrac{1}{\sqrt3}$ এবং ৮ম পদ $\dfrac{1}{27}$।

• (ক) $5+11+17+23+ \cdots \cdots \cdots +59=$ কত?
• (খ) সমান্তর ধারাটির প্রথম $(p+q)$ সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (গ) গুণোত্তর ধারাটি নির্ণয় কর।

৫৭ (i) তাসনিমা তার বিদ্যালয় হতে প্রাপ্ত উপবৃত্তির মোট $20{,}000$ টাকা $10$ বছরের জন্য ব্যাংকে জমা রাখে। বার্ষিক মুনাফার হার $10\%$।
(ii) $17+23+29+35+41+ \cdots \cdots \cdots$ একটি সমান্তর ধারা।

• (ক) সমাধান কর: $\left(\sqrt2\,x+3\right)\left(\sqrt3\,x-2\right)=0$
• (খ) (i)নং উদ্দীপক হতে সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য নির্ণয় কর।
• (গ) (ii)নং হতে ধারাটির $25$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

৫৮ দুপুর $3$টা $25$ মিনিটে $1$ জন এস.এস.সি পরীক্ষার্থী রেজাল্ট জানতে পারল। $3$টা $30$ মিনিটে জানল $8$ জন, $3$টা $35$ মিনিটে জানল $27$ জন। এভাবে রেজাল্ট ছড়িয়ে পড়ল।

• (ক) গুণোত্তর ধারার প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্রটি লিখ।
• (খ) $4$টা $15$ মিনিট পর্যন্ত মোট কত জন রেজাল্ট জানতে পারবে?
• (গ) কয়টার সময় $3132900$ জন রেজাল্ট জানতে পারবে?

৫৯ $7+x+y+189$ একটি গুণোত্তর ধারা।

• (ক) ধারাটির চতুর্থ পদকে সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ কর, যেখানে প্রথম পদ $a$ এবং সাধারণ অনুপাত $r$।
• (খ) $x$ এবং $y$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) প্রদত্ত ধারাটির প্রথম পদকে ১ম পদ এবং সাধারণ অনুপাতকে সাধারণ অন্তর ধরে সমান্তর ধারাটি নির্ণয় করে এর প্রথম $16$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

৬০ একটি সমান্তর ধারার ১ম পদ $5$ এবং সাধারণ অন্তর $6$।

• (ক) ধারাটি নির্ণয় কর।
• (খ) ধারাটির ১ম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $705$ হলে $n$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) ধারাটির সাধারণ অন্তরকে ১ম পদ এবং ১ম পদকে সাধারণ অনুপাত ধরে গঠিত গুণোত্তর ধারার ১ম $7$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

৬১ (i) $(x+y)^2=\sqrt[3]{27}$, $(x-y)^2=\sqrt[3]{8}$
(ii) $\dfrac{6}{x}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$

• (ক) একটি সমান্তর ধারার $17$ তম পদ $-23$ হলে, এর প্রথম $33$টি পদের সমষ্টি কত?
• (খ) উদ্দীপকের (i) নং সম্পর্ক হতে দেখাও যে, $\left(4x^3+\dfrac{1}{16x^3}\right)=9\sqrt3$
• (গ) উদ্দীপকের (ii) নং সম্পর্ক হতে দেখাও যে, $\dfrac{x+3a}{x-3a}+\dfrac{x+3b}{x-3b}=2$; যেখানে, $a\neq b$

৬২ (i) একটি গুণোত্তর ধারার পঞ্চম ও দশম পদ যথাক্রমে $\dfrac{2\sqrt3}{9}$ এবং $\dfrac{2}{81}$।
(ii) $P=9+7+5+ \cdots \cdots \cdots +n$; যেখানে $n \in \mathbb{Z}$

• (ক) একটি সমান্তর ধারার ষষ্ঠ পদ $55$ হলে, ধারাটির প্রথম $11$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (খ) (i) হতে চতুর্থ পদ নির্ণয় কর।
• (গ) (ii) এ $P=-144$ হলে, $n$ এর মান নির্ণয় কর। ঐ সংখ্যক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি নির্ণয় কর।

৬৩ $6+x+y+z+\dfrac{3}{8}$ একটি গুণোত্তর ধারা এবং একটি সমান্তর ধারার ষষ্ঠ ও $11$ তম পদ যথাক্রমে $30$ ও $55$।

• (ক) $3+6+9+ \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির প্রথম $20$টি পদের যোগফল নির্ণয় কর।
• (খ) $x$, $y$ ও $z$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) যদি সমান্তর ধারাটির $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $6375$ হয়, তবে $n$ এর মান নির্ণয় কর।

৬৪ (i) $b^2p-2b+p=0$
(ii) $3+6+12+ \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির প্রথম $t$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $1533$

• (ক) $l$, $m$, $n$ ক্রমিক সমানুপাতিক হলে, দেখাও যে, $\dfrac{l}{n}=\dfrac{l^2+m^2}{m^2+n^2}$
• (খ) (i) নং হতে প্রমাণ কর যে, $b=\dfrac{\sqrt{1+p}+\sqrt{1-p}}{\sqrt{1+p}-\sqrt{1-p}}$
• (গ) (ii) নং হতে $t$ এর মান নির্ণয় কর।

৬৫ দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি $7$, সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয়ের স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায় তা প্রদত্ত সংখ্যা হতে $27$ বেশি।

• (ক) সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক $x$ এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক $y$ ধরে সমীকরণ জোট গঠন কর।
• (খ) সংখ্যাটি নির্ণয় কর।
• (গ) সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক ও দশক স্থানীয় অঙ্ক যথাক্রমে একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ ও সাধারণ অন্তর হলে ধারাটির $15$ তম পদ এবং ১ম $20$ পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

৬৬ (i) $P=\frac{\log \sqrt{27} + \log \sqrt{64} - \log \sqrt{1000}}{\log 6 - \log 5}$
(ii) একটি গুণোত্তর ধারার ৪র্থ পদ $\frac{1}{3\sqrt6}$ এবং ৭ম পদ $\frac{1}{27\sqrt2}$

• (ক) উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর: $3p^4-5p^2-12$
• (খ) প্রমাণ কর যে, $P=\frac{3}{2}$
• (গ) গুণোত্তর ধারাটি নির্ণয় কর।

৬৭ (i) $3+5+7+9+11+ \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $168$
(ii) একটি গুণোত্তর ধারার ৩য় পদ $\dfrac{-\sqrt2}{2}$ এবং ৯ম পদ $\dfrac{-\sqrt2}{16}$

• (ক) $\dfrac{1}{\sqrt3}-1+\sqrt3- \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির কোন পদ $27\sqrt3$?
• (খ) (i) নং হতে $n$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) (ii) নং হতে ধারাটির প্রথম $9$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

৬৮ দৃশ্যকল্প-১: একটি গুণোত্তর ধারার ৫ম পদ $\dfrac{2\sqrt3}{9}$ এবং দশম পদ $\dfrac{8\sqrt2}{81}$
দৃশ্যকল্প-২: $\dfrac{1}{\sqrt2}-1+\sqrt2- \cdots \cdots \cdots$

• (ক) $1+2+3+4+ \cdots \cdots \cdots +99=$ কত?
• (খ) দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত ধারাটির তৃতীয় পদ কত?
• (গ) দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত ধারাটির কোন পদ $8\sqrt2$?

৬৯ একটি $5183$ মিটার লম্বা ফিতা কেটে এমনভাবে টুকরা করা হলো যেন প্রথম টুকরাটির দৈর্ঘ্য $3$ মিটার এবং পরবর্তী প্রতিটি টুকরার দৈর্ঘ্য তার পূর্ববর্তী টুকরা থেকে $2$ মিটার বেশি হয়। ফলে টুকরাগুলোর দৈর্ঘ্য সমান্তর ধারা গঠন করে।

• (ক) ধারার সূত্রের সাহায্যে $41$ তম টুকরার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
• (খ) মোট টুকরার সংখ্যা নির্ণয় কর।
• (গ) যদি ফিতাটির দৈর্ঘ্য $4657$ মিটার বেশি হতো এবং প্রতিটি টুকরার দৈর্ঘ্য তার পূর্ববর্তী টুকরার দৈর্ঘ্যের তিনগুণ হতো। তাহলে কয়টি টুকরা করা যেত?