সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ৩৭

(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত ধারাটি হলো: $1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+ \cdots \cdots \cdots$

এটি একটি গুণোত্তর ধারা।

এখানে,

ধারাটির ১ম পদ, $a = 1$

সাধারণ অনুপাত, $r = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{1} = \dfrac{1}{2} < 1$

পদসংখ্যা, $n = 6$

যেহেতু $r < 1$, তাই প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$

$\therefore$ ধারাটির প্রথম $6$টি পদের সমষ্টি,

$S_6 = \dfrac{1 \left\{ 1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^6 \right\}}{1 - \dfrac{1}{2}}$

$= \dfrac{1 - \dfrac{1}{64}}{\dfrac{1}{2}}$

$= \dfrac{\dfrac{64 - 1}{64}}{\dfrac{1}{2}}$

$= \dfrac{\dfrac{63}{64}}{\dfrac{1}{2}}$

$= \dfrac{63}{64} \times 2$

$= \dfrac{63}{32}$

সুতরাং, ধারাটির প্রথম $6$টি পদের সমষ্টি $\dfrac{63}{32}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

মনে করি, গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অনুপাত $= r$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$ তম পদ $= ar^{n-1}$

উদ্দীপকের (i) নং শর্তানুসারে,

$6$ তম পদ $= \dfrac{\sqrt3}{4\sqrt2}$

বা, $ar^{6-1} = \dfrac{\sqrt3}{4\sqrt2}$

বা, $ar^5 = \dfrac{\sqrt3}{4\sqrt2}$ -------- (i)

এবং $9$ তম পদ $= \dfrac{\sqrt3}{16}$

বা, $ar^{9-1} = \dfrac{\sqrt3}{16}$

বা, $ar^8 = \dfrac{\sqrt3}{16}$ -------- (ii)

সমীকরণ (ii) কে (i) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\dfrac{ar^8}{ar^5} = \dfrac{\dfrac{\sqrt3}{16}}{\dfrac{\sqrt3}{4\sqrt2}}$

বা, $r^3 = \dfrac{\sqrt3}{16} \times \dfrac{4\sqrt2}{\sqrt3}$

বা, $r^3 = \dfrac{4\sqrt2}{16}$

বা, $r^3 = \dfrac{\sqrt2}{4}$

বা, $r^3 = \dfrac{\sqrt2}{(\sqrt2)^4}$    [যেহেতু $4 = 2 \times 2 = (\sqrt2)^2 \times (\sqrt2)^2 = (\sqrt2)^4$]

বা, $r^3 = \dfrac{1}{(\sqrt2)^3}$

বা, $r^3 = \left(\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^3$

$\therefore r = \dfrac{1}{\sqrt2}$

এখন, $r$ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$a \left(\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^5 = \dfrac{\sqrt3}{4\sqrt2}$

বা, $a \times \dfrac{1}{4\sqrt2} = \dfrac{\sqrt3}{4\sqrt2}$

বা, $a = \dfrac{\sqrt3}{4\sqrt2} \times 4\sqrt2$

$\therefore a = \sqrt3$

অতএব, নির্ণেয় গুণোত্তর ধারাটি হলো: $a + ar + ar^2 + \cdots \cdots$

$= \sqrt3 + \left(\sqrt3 \times \dfrac{1}{\sqrt2}\right) + \left\{\sqrt3 \times \left(\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^2\right\} + \cdots \cdots$

$= \sqrt3 + \dfrac{\sqrt3}{\sqrt2} + \dfrac{\sqrt3}{2} + \cdots \cdots$

সুতরাং, নির্ণেয় গুণোত্তর ধারাটি: $\sqrt3 + \dfrac{\sqrt3}{\sqrt2} + \dfrac{\sqrt3}{2} + \cdots \cdots$ Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক (ii) হতে পাই, প্রদত্ত ধারাটি: $5+7+9+11+ \cdots \cdots \cdots$

এটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,

ধারাটির ১ম পদ, $a = 5$

সাধারণ অন্তর, $d = 7 - 5 = 9 - 7 = 2$

দেওয়া আছে, ধারাটির প্রথম $n$ টি পদের সমষ্টি, $S_n = 221$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2} \{2a+(n-1)d\}$

প্রশ্নমতে,

$\dfrac{n}{2} \{2a+(n-1)d\} = 221$

বা, $\dfrac{n}{2} \{2(5)+(n-1)2\} = 221$

বা, $\dfrac{n}{2} \{10+2n-2\} = 221$

বা, $\dfrac{n}{2} \{2n+8\} = 221$

বা, $n \{n+4\} = 221$    [বন্ধনী থেকে $2$ কমন নিয়ে কাটাকাটি করে]

বা, $n^2 + 4n = 221$

বা, $n^2 + 4n - 221 = 0$

বা, $n^2 + 17n - 13n - 221 = 0$

বা, $n(n + 17) - 13(n + 17) = 0$

বা, $(n + 17)(n - 13) = 0$

হয়, $n + 17 = 0$

$\therefore n = -17$

অথবা, $n - 13 = 0$

$\therefore n = 13$

যেহেতু পদসংখ্যা $n$ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $n = -17$ গ্রহণযোগ্য নয়।

সুতরাং, নির্ণেয় $n$ এর মান $13$। Answer