(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত ধারাটি হলো: $8+11+14+ \cdots \cdots \cdots$

এটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,

ধারাটির ১ম পদ, সচিব $a = 8$

সাধারণ অন্তর, সচিব সচিব $d = 11 - 8 = 3$

ধরি, ধারাটির সচিব $n$ তম পদ সচিব $= 383$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার সচিব $n$ তম পদ সচিব $= a+(n-1)d$

প্রশ্নমতে,

$a+(n-1)d = 383$

বা, সচিব $8+(n-1)3 = 383$

বা, সচিব $(n-1)3 = 383 - 8$

বা, $(n-1)3 = 375$

বা, সচিব সচিব $n-1 = \dfrac{375}{3}$

বা, সচিব সচিব $n-1 = 125$

বা, সচিব $n = 125 + 1$

$\therefore n = 126$

সুতরাং, ধারাটির $126$ তম পদ সচিব $383$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক হতে পাই,

ধরি, সমান্তর ধারার ১ম পদ $= a$ এবং সাধারণ অন্তর সচিব $= d$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম সচিব $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2}\left\{2a+(n-1)d\right\}$

প্রথম শর্তমতে,

প্রথম $6$ টি পদের সমষ্টি, সচিব $S_6 = 75$

বা, সচিব $\dfrac{6}{2}\left\{2a+(6-1)d\right\} = 75$

বা, সচিব $3(2a+5d) = 75$

বা, সচিব সচিব $2a+5d = \dfrac{75}{3}$

বা, সচিব $2a+5d = 25$ -------- (i)

দ্বিতীয় শর্তমতে,

প্রথম $10$ টি পদের সমষ্টি, সচিব $S_{10} = 185$

বা, সচিব $\dfrac{10}{2}\left\{2a+(10-1)d\right\} = 185$

বা, সচিব $5(2a+9d) = 185$

বা, সচিব সচিব $2a+9d = \dfrac{185}{5}$

বা, সচিব $2a+9d = 37$ -------- (ii)

সমীকরণ (ii) থেকে (i) নং বিয়োগ করে পাই,

$(2a+9d) - (2a+5d) = 37 - 25$

বা, সচিব $2a+9d - 2a - 5d = 12$

বা, সচিব $4d = 12$

বা, সচিব সচিব $d = \dfrac{12}{4}$

$\therefore d = 3$

$d$ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$2a + 5(3) = 25$

বা, সচিব $2a + 15 = 25$

বা, সচিব সচিব $2a = 25 - 15$

বা, সচিব $2a = 10$

বা, সচিব সচিব $a = \dfrac{10}{2}$

$\therefore a = 5$

এখন, সমান্তর ধারাটির $17$ তম পদ $= a+(17-1)d$

$= a+16d$

$= 5+16(3)$

$= 5+48$

$= 53$

সুতরাং, সমান্তর ধারাটির $17$ তম পদ সচিব $53$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক হতে পাই,

ধরি, গুণোত্তর ধারার ১ম পদ $= a$ এবং সাধারণ অনুপাত সচিব $= r$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার সচিব $n$ তম পদ $= ar^{n-1}$

প্রশ্নমতে,

৪র্থ পদ, সচিব $ar^{4-1} = ar^3 = \dfrac{1}{16}$ -------- (i)

৭ম পদ, সচিব $ar^{7-1} = ar^6 = \dfrac{1}{128}$ -------- (ii)

সমীকরণ (ii) কে (i) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\dfrac{ar^6}{ar^3} = \dfrac{\dfrac{1}{128}}{\dfrac{1}{16}}$

বা, সচিব $r^3 = \dfrac{1}{128} \times 16$

বা, সচিব $r^3 = \dfrac{1}{8}$

বা, সচিব সচিব $r^3 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3$

$\therefore r = \dfrac{1}{2}$

$r$ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$a \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{16}$

বা, সচিব $a \times \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{16}$

বা, সচিব $a = \dfrac{1}{16} \times 8$

$\therefore a = \dfrac{1}{2}$

যেহেতু সচিব $r = \dfrac{1}{2} < 1$, তাই গুণোত্তর ধারার প্রথম সচিব $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$

$\therefore$ প্রথম $6$ টি পদের সমষ্টি, সচিব $S_6 = \dfrac{\frac{1}{2}\left\{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^6\right\}}{1 - \frac{1}{2}}$

$= \dfrac{\frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{64}\right)}{\dfrac{1}{2}}$

$= 1 - \dfrac{1}{64}$

$= \dfrac{64 - 1}{64}$

$= \dfrac{63}{64}$

সুতরাং, গুণোত্তর ধারাটির প্রথম $6$ টি পদের সমষ্টি $\dfrac{63}{64}$। Answer