(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, $a = 5$

সাধারণ অন্তর, $d = 6$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার পদগুলো হয় $a, a+d, a+2d, a+3d, \cdots$

এখানে $a=5$ এবং $d=6$ বসিয়ে পাই,

২য় পদ $= a+d = 5+6 = 11$

৩য় পদ $= a+2d = 5+12 = 17$

৪র্থ পদ $= a+3d = 5+18 = 23$

সুতরাং, নির্ণেয় সমান্তর ধারাটি,

$5+11+17+23+ \cdots \cdots \cdots$ Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2}\{2a+(n-1)d\}$

$a=5$ ও $d=6$ বসিয়ে পাই,

$S_n = \dfrac{n}{2}\{2\times 5+(n-1)\times 6\}$

$= \dfrac{n}{2}(10+6n-6)$

$= \dfrac{n}{2}(6n+4)$

$= n(3n+2)$

প্রশ্নমতে,

$n(3n+2) = 705$

বা, $3n^2+2n-705=0$

বা, $3n^2+47n-45n-705=0$

বা, $n(3n+47)-15(3n+47)=0$

বা, $(3n+47)(n-15)=0$

হয়, $3n+47=0$

বা, $3n=-47$

$\therefore n=-\frac{47}{3}$

অথবা, $n-15=0$

$\therefore n=15$

যেহেতু $n$ একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (পদসংখ্যা ঋণাত্মক বা ভগ্নাংশ হতে পারে না), তাই $n=-\dfrac{47}{3}$ গ্রহণযোগ্য নয়।

সুতরাং, $n = 15$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

প্রশ্নমতে, সমান্তর ধারাটির সাধারণ অন্তরকে গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ এবং সমান্তর ধারাটির প্রথম পদকে গুণোত্তর ধারার সাধারণ অনুপাত ধরতে হবে।

(ক) হতে পাই, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ $= 5$ এবং সাধারণ অন্তর $= 6$।

সুতরাং গঠিত গুণোত্তর ধারার,

প্রথম পদ, $a = 6$

সাধারণ অনুপাত, $r = 5$

যেহেতু $r>1$, তাই আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি,

$S_n = \dfrac{a(r^n-1)}{r-1}$

এখানে $n=7$ বসিয়ে পাই,

$S_7 = \dfrac{6(5^7-1)}{5-1}$

$= \dfrac{6(78125-1)}{4}$

$= \dfrac{6\times 78124}{4}$

$= \dfrac{468744}{4}$

$= 117186$

সুতরাং, গঠিত গুণোত্তর ধারাটির প্রথম $7$টি পদের সমষ্টি $117186$। Answer