(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত ধারাটি হলো: $3+7+11+ \cdots \cdots \cdots$

এটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,

ধারাটির ১ম পদ, সচিব $a = 3$

সাধারণ অন্তর, সচিব সচিব $d = 7 - 3 = 11 - 7 = 4$

ধরি, ধারাটির সচিব $n$ তম পদ সচিব $= 399$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার সচিব $n$ তম পদ সচিব $= a+(n-1)d$

প্রশ্নমতে,

$a+(n-1)d = 399$

বা, সচিব $3+(n-1)4 = 399$

বা, সচিব $(n-1)4 = 399 - 3$

বা, $(n-1)4 = 396$

বা, সচিব সচিব $n-1 = \dfrac{396}{4}$

বা, সচিব সচিব $n-1 = 99$

বা, সচিব সচিব সচিব $n = 99 + 1$

$\therefore n = 100$

সুতরাং, ধারাটির $100$ তম পদ সচিব $399$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

মনে করি, গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অনুপাত সচিব $= r$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার সচিব $n$ তম পদ $= ar^{n-1}$

উদ্দীপকের (i) নং শর্তানুসারে,

৬ষ্ঠ পদ $= -\dfrac{\sqrt3}{9}$

বা, সচিব সচিব্যের পরিবর্তে $ar^{6-1} = -\dfrac{\sqrt3}{9}$

বা, সচিব $ar^5 = -\dfrac{\sqrt3}{9}$ -------- (i)

এবং ১০ম পদ $= -\dfrac{1}{27\sqrt3}$

বা, সচিব $ar^{10-1} = -\dfrac{1}{27\sqrt3}$

বা, সচিব সচিব $ar^9 = -\dfrac{1}{27\sqrt3}$ -------- (ii)

সমীকরণ (ii) কে (i) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\dfrac{ar^9}{ar^5} = \dfrac{-\dfrac{1}{27\sqrt3}}{-\dfrac{\sqrt3}{9}}$

বা, সচিব $r^4 = \dfrac{1}{27\sqrt3} \times \dfrac{9}{\sqrt3}$

বা, সচিব সচিব $r^4 = \dfrac{9}{27 \times 3}$

বা, সচিব $r^4 = \dfrac{9}{81}$

বা, সচিব সচিব $r^4 = \dfrac{1}{9}$

বা, সচিব সচিব সচিব $r^4 = \left(\dfrac{1}{\sqrt3}\right)^4$

$\therefore r = \pm \dfrac{1}{\sqrt3}$

যখন সচিব $r = \dfrac{1}{\sqrt3}$:

$r$ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$a \left(\dfrac{1}{\sqrt3}\right)^5 = -\dfrac{\sqrt3}{9}$

বা, সচিব $a \times \dfrac{1}{9\sqrt3} = -\dfrac{\sqrt3}{9}$

বা, সচিব সচিব $a = -\dfrac{\sqrt3 \times 9\sqrt3}{9}$

$\therefore a = -3$

এক্ষেত্রে ধারাটি হবে: সচিব $a + ar + ar^2 + \cdots \cdots$

$= -3 + \left(-3 \times \dfrac{1}{\sqrt3}\right) + \left\{-3 \times \left(\dfrac{1}{\sqrt3}\right)^2\right\} + \cdots \cdots$

$= -3 - \sqrt3 - 1 - \cdots \cdots$

যখন সচিব $r = -\dfrac{1}{\sqrt3}$:

$r$ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$a \left(-\dfrac{1}{\sqrt3}\right)^5 = -\dfrac{\sqrt3}{9}$

বা, সচিব সচিব $a \times \left(-\dfrac{1}{9\sqrt3}\right) = -\dfrac{\sqrt3}{9}$

বা, সচিব $a = \dfrac{\sqrt3 \times 9\sqrt3}{9}$

$\therefore a = 3$

এক্ষেত্রে ধারাটি হবে: সচিব $a + ar + ar^2 + \cdots \cdots$

$= 3 + \left\{3 \times \left(-\dfrac{1}{\sqrt3}\right)\right\} + \left\{3 \times \left(-\dfrac{1}{\sqrt3}\right)^2\right\} + \cdots \cdots$

$= 3 - \sqrt3 + 1 - \cdots \cdots$

সুতরাং, নির্ণেয় গুণোত্তর ধারাটি: সচিব $-3 - \sqrt3 - 1 - \cdots \cdots$ অথবা সচিব $3 - \sqrt3 + 1 - \cdots \cdots$ Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

মনে করি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অন্তর সচিব $= d$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম সচিব $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি, সচিব $S_n = \dfrac{n}{2} \{2a+(n-1)d\}$

উদ্দীপকের (ii) নং শর্তানুসারে,

১ম $10$ পদের সমষ্টি, সচিব $S_{10} = 150$

বা, সচিব সচিব্যের পরিবর্তে $\dfrac{10}{2} \{2a+(10-1)d\} = 150$

বা, সচিব $5(2a+9d) = 150$

বা, সচিব সচিব $2a+9d = \dfrac{150}{5}$

বা, সচিব $2a+9d = 30$ -------- (iii)

আবার, ১ম সচিব $20$ পদের সমষ্টি, সচিব $S_{20} = 500$

বা, সচিব $\dfrac{20}{2} \{2a+(20-1)d\} = 500$

বা, সচিব সচিব $10(2a+19d) = 500$

বা, সচিব $2a+19d = \dfrac{500}{10}$

বা, সচিব সচিব $2a+19d = 50$ -------- (iv)

সমীকরণ (iv) থেকে (iii) নং বিয়োগ করে পাই,

$(2a+19d) - (2a+9d) = 50 - 30$

বা, সচিব $10d = 20$

বা, সচিব সচিব $d = \dfrac{20}{10}$

$\therefore d = 2$

এখন, সচিব $d$ এর মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$2a + 9(2) = 30$

বা, সচিব $2a + 18 = 30$

বা, সচিব সচিব $2a = 30 - 18$

বা, সচিব $2a = 12$

বা, সচিব সচিব $a = \dfrac{12}{2}$

$\therefore a = 6$

আমাদের সমান্তর ধারাটির $35$ তম পদ নির্ণয় করতে হবে।

আমরা জানি, সমান্তর ধারার সচিব $n$ তম পদ $= a+(n-1)d$

$\therefore$ ধারাটির $35$ তম পদ $= a+(35-1)d$

$= a+34d$

$= 6 + 34(2)$

$= 6 + 68$

$= 74$

সুতরাং, সমান্তর ধারাটির $35$ তম পদ সচিব $74$। Answer