(ক) নং এর সমাধান

আমরা জানি,

প্রথম সচিব $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি $= \left\{\dfrac{n(n+1)}{2}\right\}^2$

সুতরাং, $1^3+2^3+3^3+ \cdots \cdots \cdots +10^3$ এর ক্ষেত্রে পদসংখ্যা সচিব $n = 10$

$\therefore$ সমষ্টি $= \left\{\dfrac{10(10+1)}{2}\right\}^2$

$= \left(\dfrac{10 \times 11}{2}\right)^2$

$= \left(\dfrac{110}{2}\right)^2$

$= (55)^2$

$= 3025$

সুতরাং, নির্ণেয় মান সচিব $3025$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

মনে করি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অন্তর সচিব $= d$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার সচিব $n$ তম পদ $= a+(n-1)d$

উদ্দীপক (i) এর শর্তমতে, সচিব $x=10$ এবং সচিব $y=16$ হলে,

ধারাটির $10$ তম পদ $= 16$

অর্থাৎ, সচিব $a+(10-1)d = 16$

বা, সচিব $a+9d = 16$ -------- (i)

এবং ধারাটির $16$ তম পদ $= 10$

অর্থাৎ, সচিব $a+(16-1)d = 10$

বা, সচিব সচিব $a+15d = 10$ -------- (ii)

সমীকরণ (ii) হতে (i) নং বিয়োগ করে পাই,

$(a+15d) - (a+9d) = 10 - 16$

বা, সচিব $a+15d - a - 9d = -6$

বা, সচিব সচিব $6d = -6$

বা, সচিব $d = \dfrac{-6}{6}$

$\therefore d = -1$

সমীকরণ (i) এ সচিব $d$ এর মান বসিয়ে পাই,

$a+9(-1) = 16$

বা, সচিব $a - 9 = 16$

বা, সচিব সচিব সচিব $a = 16 + 9$

$\therefore a = 25$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম সচিব $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2}\left\{2a+(n-1)d\right\}$

$\therefore$ ধারাটির প্রথম সচিব $26$ টি পদের সমষ্টি,

$S_{26} = \dfrac{26}{2}\left\{2(25)+(26-1)(-1)\right\}$

$= 13\left\{50+25(-1)\right\}$

$= 13(50 - 25)$

$= 13 \times 25$

$= 325$

সুতরাং, ১ম সচিব $26$ টি পদের সমষ্টি সচিব $325$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

মনে করি, গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অনুপাত সচিব $= r$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার সচিব $n$ তম পদ $= ar^{n-1}$

উদ্দীপক (ii) অনুসারে,

২য় পদ, সচিব $ar^{2-1} = ar = -1$ -------- (i)

৪র্থ পদ, সচিব সচিব $ar^{4-1} = ar^3 = -1$ -------- (ii)

সমীকরণ (ii) কে (i) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\dfrac{ar^3}{ar} = \dfrac{-1}{-1}$

বা, সচিব $r^2 = 1$

$\therefore r = \pm 1$

যেহেতু প্রশ্নে দেওয়া আছে সচিব সচিব $r < 1$, তাই সচিব $r = -1$ গ্রহণযোগ্য।

$r$ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$a(-1) = -1$

বা, সচিব $-a = -1$

$\therefore a = 1$

তাহলে নির্ণেয় গুণোত্তর ধারাটি হলো: সচিব $a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots \cdots$

$= 1 + 1(-1) + 1(-1)^2 + 1(-1)^3 + \cdots \cdots$

$= 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots \cdots$

যেহেতু সচিব $r = -1 < 1$, তাই গুণোত্তর ধারার প্রথম সচিব $k$ পদের সমষ্টি, $S_k = \dfrac{a(1 - r^k)}{1 - r}$

এখানে পদসংখ্যা সচিব $k = 2n-1$

$\therefore (2n-1)$ সংখ্যক পদের সমষ্টি, সচিব $S_{2n-1} = \dfrac{1\{1 - (-1)^{2n-1}\}}{1 - (-1)}$

যেহেতু সচিব $n$ একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, সেহেতু $(2n-1)$ সর্বদা একটি বিজোড় সংখ্যা।

এবং $(-1)$ এর পাওয়ার বিজোড় সংখ্যা হলে তার মান $-1$ হয়। অর্থাৎ, $(-1)^{2n-1} = -1$

$\therefore S_{2n-1} = \dfrac{1 - (-1)}{1 + 1}$

$= \dfrac{1 + 1}{2}$

$= \dfrac{2}{2}$

$= 1$

সুতরাং, গুণোত্তর ধারাটি সচিব $1 - 1 + 1 - 1 + \cdots \cdots$ এবং এর $(2n-1)$ সংখ্যক পদের সমষ্টি সচিব $1$। Answer