(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত ধারাটি হলো: $4+7+10+ \cdots \cdots \cdots$

এটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,

ধারাটির ১ম পদ, সচিব $a = 4$

সাধারণ অন্তর, সচিব সচিব $d = 7 - 4 = 10 - 7 = 3$

ধরি, ধারাটির সচিব $n$ তম পদ সচিব $= 304$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার সচিব $n$ তম পদ সচিব $= a+(n-1)d$

প্রশ্নমতে,

$a+(n-1)d = 304$

বা, সচিব $4+(n-1)3 = 304$

বা, সচিব $(n-1)3 = 304 - 4$

বা, $(n-1)3 = 300$

বা, সচিব সচিব $n-1 = \dfrac{300}{3}$

বা, সচিব সচিব $n-1 = 100$

বা, সচিব সচিব সচিব $n = 100 + 1$

$\therefore n = 101$

সুতরাং, ধারাটির $101$ তম পদ সচিব $304$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক (i) হতে পাই, ধারাটি: $7+p+q+s+16807+ \cdots \cdots \cdots$

এটি একটি গুণোত্তর ধারা।

এখানে,

ধারাটির ১ম পদ, সচিব $a = 7$

ধরি, সাধারণ অনুপাত সচিব $= r$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার সচিব $n$ তম পদ $= ar^{n-1}$

ধারাটির ২য় পদ $= ar^{2-1} = ar = p$

ধারাটির ৩য় পদ $= ar^{3-1} = ar^2 = q$

ধারাটির ৪র্থ পদ $= ar^{4-1} = ar^3 = s$

এবং ধারাটির ৫ম পদ $= ar^{5-1} = ar^4 = 16807$

প্রশ্নমতে,

$ar^4 = 16807$

বা, সচিব সচিব্যের পরিবর্তে $7 \times r^4 = 16807$

বা, সচিব $r^4 = \dfrac{16807}{7}$

বা, সচিব সচিব $r^4 = 2401$

বা, সচিব $r^4 = (\pm 7)^4$

$\therefore r = \pm 7$

যখন সচিব $r = 7$ হয়:

$p = ar = 7 \times 7 = 49$

$q = ar^2 = 7 \times 7^2 = 7 \times 49 = 343$

$s = ar^3 = 7 \times 7^3 = 7 \times 343 = 2401$

যখন সচিব $r = -7$ হয়:

$p = ar = 7 \times (-7) = -49$

$q = ar^2 = 7 \times (-7)^2 = 7 \times 49 = 343$

$s = ar^3 = 7 \times (-7)^3 = 7 \times (-343) = -2401$

সুতরাং, সচিব $p, q, s$ এর মান যথাক্রমে সচিব $49, 343, 2401$ অথবা সচিব $-49, 343, -2401$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক (ii) হতে পাই, ধারাটি: $7+12+17+22+ \cdots \cdots \cdots$

এটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,

ধারাটির ১ম পদ, সচিব $a = 7$

সাধারণ অন্তর, সচিব সচিব $d = 12 - 7 = 17 - 12 = 5$

ধরি, ধারাটির প্রথম সচিব $n$ সংখ্যক পদের যোগফল সচিব $S_n = 1090$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম সচিব সচিব $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি, সচিব $S_n = \dfrac{n}{2} \{2a+(n-1)d\}$

প্রশ্নমতে,

$\dfrac{n}{2} \{2a+(n-1)d\} = 1090$

বা, সচিব সচিব্যের পরিবর্তে $\dfrac{n}{2} \{2(7)+(n-1)5\} = 1090$

বা, সচিব $n \{14+5n-5\} = 1090 \times 2$

বা, সচিব সচিব $n(5n+9) = 2180$

বা, সচিব $5n^2+9n-2180 = 0$

বা, সচিব সচিব $5n^2+109n-100n-2180 = 0$

বা, সচিব $n(5n+109) - 20(5n+109) = 0$

বা, সচিব $(5n+109)(n-20) = 0$

হয়, সচিব $n-20 = 0$

$\therefore n = 20$

অথবা, সচিব $5n+109 = 0$

বা, সচিব $5n = -109$

$\therefore n = -\dfrac{109}{5}$

যেহেতু পদসংখ্যা সচিব $n$ ঋণাত্মক বা ভগ্নাংশ হতে পারে না, তাই সচিব $n = -\dfrac{109}{5}$ গ্রহণযোগ্য নয়।

সুতরাং, নির্ণেয় সচিব $n$ এর মান সচিব $20$। Answer