(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত রাশি,

$= \log_{\sqrt{a}}b \times \log_{\sqrt{b}}c \times \log_{\sqrt{c}}a$

আমরা জানি, $\log_{x^n} y = \dfrac{1}{n} \log_x y$

$= \log_{a^{\frac{1}{2}}}b \times \log_{b^{\frac{1}{2}}}c \times \log_{c^{\frac{1}{2}}}a$

$= \dfrac{1}{\frac{1}{2}}\log_{a}b \times \dfrac{1}{\frac{1}{2}}\log_{b}c \times \dfrac{1}{\frac{1}{2}}\log_{c}a$

$= 2\log_{a}b \times 2\log_{b}c \times 2\log_{c}a$

$= (2 \times 2 \times 2) \cdot (\log_{a}b \times \log_{b}c \times \log_{c}a)$

$= 8 \cdot (\log_{a}c \times \log_{c}a)$ [যেহেতু $\log_a b \times \log_b c = \log_a c$]

$= 8 \cdot \log_{a}a$

$= 8 \cdot 1$

$= 8$

সুতরাং, নির্ণেয় সরলফল $8$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$L = \dfrac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$

$M = \dfrac{x^b}{x^c} = x^{b-c}$

$N = \dfrac{x^c}{x^a} = x^{c-a}$

প্রদত্ত রাশি,

$= \sqrt[5ab]{L} \times \sqrt[5bc]{M} \times \sqrt[5ca]{N}$

মান বসিয়ে পাই,

$= (x^{a-b})^{\frac{1}{5ab}} \times (x^{b-c})^{\frac{1}{5bc}} \times (x^{c-a})^{\frac{1}{5ca}}$

$= x^{\frac{a-b}{5ab}} \times x^{\frac{b-c}{5bc}} \times x^{\frac{c-a}{5ca}}$

ভিত্তি একই হওয়ায় পাওয়ারগুলো যোগ হবে,

$= x^{\frac{a-b}{5ab} + \frac{b-c}{5bc} + \frac{c-a}{5ca}}$

$= x^{\frac{c(a-b) + a(b-c) + b(c-a)}{5abc}}$

$= x^{\frac{ac - bc + ab - ac + bc - ab}{5abc}}$

$= x^{\frac{0}{5abc}}$

$= x^0$

$= 1$

সুতরাং, নির্ণেয় সরলফল $1$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$x=2$, $y=3$ এবং $z=5$

বামপক্ষ,

$= \dfrac{\log \sqrt{y^3} + y \log x - \log\sqrt[x]{(xz)^y}}{\log(xy \div z)}$

মান বসিয়ে পাই,

$= \dfrac{\log \sqrt{3^3} + 3 \log 2 - \log\sqrt[2]{(2 \cdot 5)^3}}{\log(2 \cdot 3 \div 5)}$

$= \dfrac{\log \left(3^3\right)^{\frac{1}{2}} + 3 \log 2 - \log \left(10^3\right)^{\frac{1}{2}}}{\log(6 \div 5)}$

$= \dfrac{\log 3^{\frac{3}{2}} + 3 \log 2 - \log 10^{\frac{3}{2}}}{\log 1.2}$

$= \dfrac{\frac{3}{2} \log 3 + \frac{3}{2} \cdot 2 \log 2 - \frac{3}{2} \log 10}{\log 1.2}$

$= \dfrac{\frac{3}{2} \log 3 + \frac{3}{2} \log 2^2 - \frac{3}{2} \log 10}{\log 1.2}$

$= \dfrac{\frac{3}{2} \log 3 + \frac{3}{2} \log 4 - \frac{3}{2} \log 10}{\log 1.2}$

$= \dfrac{\frac{3}{2}(\log 3 + \log 4 - \log 10)}{\log 1.2}$

$= \dfrac{\frac{3}{2} \log \left( \frac{3 \times 4}{10} \right)}{\log 1.2}$

$= \dfrac{\frac{3}{2} \log \left( \frac{12}{10} \right)}{\log 1.2}$

$= \dfrac{\frac{3}{2} \log 1.2}{\log 1.2}$

লব ও হর হতে $\log 1.2$ বাদ দিয়ে পাই,

$= \dfrac{3}{2}$

আবার,

ডানপক্ষ,

$= \log_{y}{\sqrt{y^3}}$

$= \log_{3}{\sqrt{3^3}}$ [ $y$ এর মান বসিয়ে ]

$= \log_{3}{\left(3^3\right)^{\frac{1}{2}}}$

$= \log_{3}{3^{\frac{3}{2}}}$

$= \dfrac{3}{2} \log_{3}{3}$

$= \dfrac{3}{2} \cdot 1$ [যেহেতু $\log_a a = 1$]

$= \dfrac{3}{2}$

যেহেতু, বামপক্ষ $=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $\dfrac{\log \sqrt{y^3} + y \log x - \log\sqrt[x]{(xz)^y}}{\log(xy \div z)}$$ = \log_{y}{\sqrt{y^3}}$ Proved