(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$P=x^a$ এবং $Q=x^b$

প্রদত্ত রাশি, $P^{bc}\cdot Q^{-ca}$

মান বসিয়ে পাই,

$= (x^a)^{bc} \cdot (x^b)^{-ca}$

$= x^{abc} \cdot x^{-abc}$

ভিত্তিগুলো একই হওয়ায় পাওয়ারগুলো যোগ করে পাই,

$= x^{abc - abc}$

$= x^0$

$= 1$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $1$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$P=x^a$, $Q=x^b$ এবং $R=x^c$

প্রদত্ত রাশি, $\left(\frac{P}{Q}\right)^{a+b}\times \left(\frac{Q}{R}\right)^{b+c}$$ \div2\left(RP\right)^{a-c}$

মান বসিয়ে পাই,

$= \left(\dfrac{x^a}{x^b}\right)^{a+b} \times \left(\dfrac{x^b}{x^c}\right)^{b+c}$$ \div 2\left(x^c \cdot x^a\right)^{a-c}$

$= \left(x^{a-b}\right)^{a+b} \times \left(x^{b-c}\right)^{b+c}$$ \div 2\left(x^{c+a}\right)^{a-c}$

$= x^{(a-b)(a+b)} \times x^{(b-c)(b+c)}$$ \div 2x^{(a+c)(a-c)}$

$= x^{a^2-b^2} \times x^{b^2-c^2}$$ \div 2x^{a^2-c^2}$

$= x^{a^2-b^2+b^2-c^2}$$ \div 2x^{a^2-c^2}$

$= x^{a^2-c^2} \div 2x^{a^2-c^2}$

$= \dfrac{x^{a^2-c^2}}{2x^{a^2-c^2}}$

লব ও হর হতে $x^{a^2-c^2}$ বাদ দিয়ে পাই,

$= \dfrac{1}{2}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\dfrac{1}{2}$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$P=x^a$, $Q=x^b$ এবং $R=x^c$

বামপক্ষ,

$= \left(\frac{P}{Q}\right)^{a^2+ab+b^2}$$\times \left(\frac{Q}{R}\right)^{b^2+bc+c^2}$$\times \left(\frac{R}{P}\right)^{c^2+ca+a^2}$

মান বসিয়ে পাই,

$= \left(\dfrac{x^a}{x^b}\right)^{a^2+ab+b^2}$$ \times \left(\dfrac{x^b}{x^c}\right)^{b^2+bc+c^2}$$ \times \left(\dfrac{x^c}{x^a}\right)^{c^2+ca+a^2}$

$= \left(x^{a-b}\right)^{a^2+ab+b^2}$$ \times \left(x^{b-c}\right)^{b^2+bc+c^2}$$ \times \left(x^{c-a}\right)^{c^2+ca+a^2}$

$= x^{(a-b)(a^2+ab+b^2)}$$ \times x^{(b-c)(b^2+bc+c^2)}$$ \times x^{(c-a)(c^2+ca+a^2)}$

আমরা জানি, $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$

$= x^{a^3-b^3} \times x^{b^3-c^3} \times x^{c^3-a^3}$

ভিত্তিগুলো একই হওয়ায় পাওয়ারগুলো যোগ করে পাই,

$= x^{a^3-b^3+b^3-c^3+c^3-a^3}$

$= x^0$

$= 1$

$=$ ডানপক্ষ

$\therefore$ বামপক্ষ $=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $\left(\frac{P}{Q}\right)^{a^2+ab+b^2}$$\times \left(\frac{Q}{R}\right)^{b^2+bc+c^2}$$\times \left(\frac{R}{P}\right)^{c^2+ca+a^2}$$=1$ Showed