(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$3+a+9+ \cdots \cdots \cdots +60$ একটি সমান্তর ধারা।

যেহেতু $3, a, 9$ পরপর তিনটি পদ একটি সমান্তর ধারার অন্তর্ভুক্ত, তাই মধ্যপদ $a$ তার আগের ও পরের পদের গড় হবে।

অর্থাৎ, $a = \dfrac{3+9}{2}$

বা, $a = \dfrac{12}{2}$

$\therefore a = 6$

সুতরাং, $a$ এর মান $6$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

(ক) হতে পাই, $a = 6$।

সুতরাং ধারাটি হলো, $3+6+9+ \cdots \cdots \cdots +60$

এখানে,

প্রথম পদ, $a_1 = 3$

সাধারণ অন্তর, $d = 6-3 = 3$

শেষ পদ, $a_n = 60$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$-তম পদ, $a_n = a_1+(n-1)d$

প্রশ্নমতে,

$3+(n-1)\times 3 = 60$

বা, $(n-1)\times 3 = 57$

বা, $n-1 = 19$

$\therefore n = 20$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2}(a_1+a_n)$

$S_{20} = \dfrac{20}{2}(3+60)$

$= 10 \times 63$

$= 630$

সুতরাং, ধারাটির সমষ্টি $630$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

প্রশ্নমতে, সমান্তর ধারাটির ১ম পদকে গুণোত্তর ধারার ১ম পদ এবং সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তরকে গুণোত্তর ধারার সাধারণ অনুপাত ধরতে হবে।

(খ) হতে পাই, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ $= 3$ এবং সাধারণ অন্তর $= 3$।

সুতরাং গঠিত গুণোত্তর ধারার,

প্রথম পদ, $a = 3$

সাধারণ অনুপাত, $r = 3$

যেহেতু $r>1$, তাই আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি,

$S_n = \dfrac{a(r^n-1)}{r-1}$

এখানে $n=9$ বসিয়ে পাই,

$S_9 = \dfrac{3(3^9-1)}{3-1}$

$= \dfrac{3(19683-1)}{2}$

$= \dfrac{3 \times 19682}{2}$

$= \dfrac{59046}{2}$

$= 29523$

সুতরাং, গুণোত্তর ধারাটির প্রথম $9$টি পদের সমষ্টি $29523$। Answer