(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\log_{7}2 = \alpha$

$\log_{7}3 = \beta$

$\log_{7}5 = \gamma$

প্রদত্ত রাশি,

$= \log_{7}\dfrac{15}{2}$

$= \log_{7}15 - \log_{7}2$

$= \log_{7}(3 \times 5) - \log_{7}2$

$= \log_{7}3 + \log_{7}5 - \log_{7}2$

মান বসিয়ে পাই,

$= \beta + \gamma - \alpha$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\beta + \gamma - \alpha$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$A = 125^p - 11 \times 25^p + 24$

$B = 7 - 5 \times 5^p$

প্রশ্নমতে,

$A = 7B$

বা, $125^p - 11 \times 25^p + 24 = 7(7 - 5 \times 5^p)$

বা, $(5^3)^p - 11 \times (5^2)^p + 24 = 49 - 35 \times 5^p$

বা, $(5^p)^3 - 11 \times (5^p)^2 + 24 - 49 + 35 \times 5^p = 0$

বা, $(5^p)^3 - 11(5^p)^2 + 35(5^p) - 25 = 0$

ধরি, $5^p = a$

তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়,

$a^3 - 11a^2 + 35a - 25 = 0$

বা, $a^3 - a^2 - 10a^2 + 10a + 25a - 25 = 0$

বা, $a^2(a - 1) - 10a(a - 1) + 25(a - 1) = 0$

বা, $(a - 1)(a^2 - 10a + 25) = 0$

বা, $(a - 1)(a^2 - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2) = 0$

বা, $(a - 1)(a - 5)^2 = 0$

হয়,

$a - 1 = 0$

বা, $a = 1$

বা, $5^p = 5^0$ [$a$ এর মান বসিয়ে]

$\therefore p = 0$

অথবা,

$(a - 5)^2 = 0$

বা, $a - 5 = 0$

বা, $a = 5$

বা, $5^p = 5^1$

$\therefore p = 1$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $p = 0$ অথবা $p = 1$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$L = 2 \log_{3}x - \log_{3}(x+6)+1$

প্রশ্নমতে,

$L = 2$

বা, $2 \log_{3}x - \log_{3}(x+6)+1 = 2$

বা, $\log_{3}x^2 - \log_{3}(x+6) = 2 - 1$

বা, $\log_{3}\left( \dfrac{x^2}{x+6} \right) = 1$

লগারিদমের সংজ্ঞানুসারে পাই,

$\dfrac{x^2}{x+6} = 3^1$

বা, $x^2 = 3(x+6)$

বা, $x^2 = 3x + 18$

বা, $x^2 - 3x - 18 = 0$

বা, $x^2 - 6x + 3x - 18 = 0$

বা, $x(x - 6) + 3(x - 6) = 0$

বা, $(x - 6)(x + 3) = 0$

হয়,

$x - 6 = 0$

$\therefore x = 6$

অথবা,

$x + 3 = 0$

$\therefore x = -3$

যেহেতু লগারিদমের ক্ষেত্রে ঋণাত্মক সংখ্যার লগারিদম সংজ্ঞায়িত নয়, তাই $x = -3$ গ্রহণযোগ্য নয়।

সুতরাং, নির্ণেয় মান $x = 6$। Answer