(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত ধারাটি হলো: $10+7+4+ \cdots \cdots \cdots$

এটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,

ধারাটির ১ম পদ, সচিব $a = 10$

সাধারণ অন্তর, সচিব সচিব $d = 7 - 10 = -3$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার সচিব $n$ তম পদ সচিব $= a+(n-1)d$

$\therefore$ ১০ম পদ $= 10+(10-1)(-3)$

$= 10+9(-3)$

$= 10-27$

$= -17$

সুতরাং, ধারাটির ১০ম পদ সচিব $-17$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক হতে পাই,

সমান্তর ধারার ১ম পদ, সচিব $a = 3$

সাধারণ অন্তর, সচিব সচিব $d = 4$

দেওয়া আছে, ধারাটির প্রথম সচিব $n$ পদের সমষ্টি, সচিব $S_n = 903$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম সচিব $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2}\left\{2a+(n-1)d\right\}$

শর্তমতে,

$\dfrac{n}{2}\left\{2(3)+(n-1)4\right\} = 903$

বা, সচিব সচিব্যের পরিবর্তে $\dfrac{n}{2}\left\{6+4n-4\right\} = 903$

বা, সচিব $\dfrac{n}{2}\left\{4n+2\right\} = 903$

বা, সচিব সচিব $\dfrac{n}{2} \cdot 2(2n+1) = 903$

বা, সচিব $n(2n+1) = 903$

বা, সচিব সচিব $2n^2 + n = 903$

বা, $2n^2 + n - 903 = 0$

বা, সচিব $2n^2 - 42n + 43n - 903 = 0$

বা, সচিব সচিব $2n(n - 21) + 43(n - 21) = 0$

বা, সচিব $(n - 21)(2n + 43) = 0$

হয়,

$n - 21 = 0$

$\therefore n = 21$

অথবা,

$2n + 43 = 0$

বা, $2n = -43$

$\therefore n = -\dfrac{43}{2}$

কিন্তু পদসংখ্যা কখনো ঋণাত্মক বা ভগ্নাংশ হতে পারে না, তাই সচিব $n = -\dfrac{43}{2}$ গ্রহণযোগ্য নয়।

সুতরাং, সচিব $n$ এর মান সচিব $21$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক হতে পাই, সমান্তর ধারার ১ম পদ $= 3$ এবং সাধারণ অন্তর সচিব $= 4$

শর্তমতে, নতুন গুণোত্তর ধারাটির,

১ম পদ, সচিব $a = 4$

সাধারণ অনুপাত, সচিব সচিব $r = 3$

অতএব, গুণোত্তর ধারাটির,

১ম পদ $= 4$

২য় পদ $= ar = 4 \times 3 = 12$

৩য় পদ $= ar^2 = 4 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$

$\therefore$ গঠিত গুণোত্তর ধারাটি হলো: $4 + 12 + 36 + \cdots \cdots$

যেহেতু সচিব $r = 3 > 1$, তাই গুণোত্তর ধারার প্রথম সচিব সচিব $n$ পদের সমষ্টি,

$S_n = \dfrac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

$\therefore$ ধারাটির প্রথম সচিব $7$ টি পদের সমষ্টি,

$S_7 = \dfrac{4(3^7 - 1)}{3 - 1}$

$= \dfrac{4(2187 - 1)}{2}$

$= 2 \times 2186$

$= 4372$

সুতরাং, গঠিত গুণোত্তর ধারাটি সচিব $4 + 12 + 36 + \cdots$ এবং এর প্রথম সচিব $7$ টি পদের সমষ্টি সচিব $4372$। Answer