(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত রাশি,

$= 3$ এর $27$ ভিত্তিক লগ

$= \log_{27} 3$

$= \log_{27} \left( 27^{\frac{1}{3}} \right)$

$= \dfrac{1}{3} \log_{27} 27$

$= \dfrac{1}{3} \cdot 1$ [যেহেতু $\log_a a = 1$]

$= \dfrac{1}{3}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\dfrac{1}{3}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$P = xy^{a-1}$

$Q = xy^{b-1}$

$R = xy^{c-1}$

উভয়পক্ষে লগ নিয়ে পাই,

$\log P = \log(xy^{a-1}) = \log x + \log y^{a-1}$$ = \log x + (a-1)\log y$

$\log Q = \log(xy^{b-1}) = \log x + \log y^{b-1}$$ = \log x + (b-1)\log y$

$\log R = \log(xy^{c-1}) = \log x + \log y^{c-1}$$ = \log x + (c-1)\log y$

বামপক্ষ,

$= (b-c)\log P + (c-a)\log Q + (a-b)\log R$

মান বসিয়ে পাই,

$= (b-c)\{\log x + (a-1)\log y\}$$ + (c-a)\{\log x + (b-1)\log y\}$$ + (a-b)\{\log x + (c-1)\log y\}$

$= (b-c)\log x$$ + (b-c)(a-1)\log y$$ + (c-a)\log x$$ + (c-a)(b-1)\log y$$ + (a-b)\log x$$ + (a-b)(c-1)\log y$

$\log x$ ও $\log y$ কমন নিয়ে পাই,

$= \log x (b-c + c-a + a-b)$$ + \log y \{(b-c)(a-1)$$ + (c-a)(b-1)$$ + (a-b)(c-1)\}$

$= \log x (0) + \log y (ab - b - ac + c$$ + bc$$ - c$$ - ab$$ + a$$ + ac - a$$ - bc$$ + b)$

$= 0 + \log y (0)$

$= 0$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $(b-c)\log P$$ + (c-a)\log Q$$ + (a-b)\log R$$ = 0$ Shown

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$M = \log_{10}3\sqrt3 + 2 \log_{10}2\sqrt2 - \log_{10}10\sqrt{10}$

$N = \frac{1}{2} \log_{10}1.44$

প্রথমে $M$ এর মান নির্ণয় করি,

$M = \log_{10}\left(3 \cdot 3^{\frac{1}{2}}\right) + \log_{10}\left(2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}\right)^2$$ - \log_{10}\left(10 \cdot 10^{\frac{1}{2}}\right)$

$= \log_{10}\left(3^{\frac{3}{2}}\right) + \log_{10}\left(2^{\frac{3}{2}}\right)^2$$ - \log_{10}\left(10^{\frac{3}{2}}\right)$

$= \dfrac{3}{2}\log_{10}3 + \log_{10}\left(2^3\right)$$ - \dfrac{3}{2}\log_{10}10$

$= \dfrac{3}{2}\log_{10}3 + 3\log_{10}2$$ - \dfrac{3}{2}\log_{10}10$

$= \dfrac{3}{2}\log_{10}3 + \dfrac{3}{2}(2\log_{10}2)$$ - \dfrac{3}{2}\log_{10}10$

$= \dfrac{3}{2}\log_{10}3 + \dfrac{3}{2}\log_{10}2^2$$ - \dfrac{3}{2}\log_{10}10$

$= \dfrac{3}{2} (\log_{10}3 + \log_{10}4 - \log_{10}10)$

$= \dfrac{3}{2} \log_{10}\left(\dfrac{3 \times 4}{10}\right)$

$= \dfrac{3}{2} \log_{10}\left(\dfrac{12}{10}\right)$

$= \dfrac{3}{2} \log_{10}1.2$

এখন $N$ এর মান নির্ণয় করি,

$N = \dfrac{1}{2} \log_{10}1.44$

$= \dfrac{1}{2} \log_{10}(1.2)^2$

$= \dfrac{1}{2} \times 2 \log_{10}1.2$

$= \log_{10}1.2$

এখন,

বামপক্ষ,

$= \dfrac{2M}{N}$

$= \dfrac{2 \times \frac{3}{2} \log_{10}1.2}{\log_{10}1.2}$

$= \dfrac{3 \log_{10}1.2}{\log_{10}1.2}$

$= 3$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $\dfrac{2M}{N}=3$ Proved