(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$(\sqrt3)^x = 81$

বা, $(3^{\frac{1}{2}})^x = 3^4$

বা, $3^{\frac{x}{2}} = 3^4$

উভয়পক্ষ থেকে ভিত্তি $3$ বাদ দিয়ে পাই,

$\dfrac{x}{2} = 4$

বা, $x = 4 \times 2$

$\therefore x = 8$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $x = 8$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$A = \left( \dfrac{a^{\frac{p}{q}}}{a^{\frac{q}{p}}} \right)^{\frac{pq}{p+q}} \times \left( \dfrac{a^{\frac{q}{r}}}{a^{\frac{r}{q}}} \right)^{\frac{qr}{q+r}}$$ \times \left( \dfrac{a^{\frac{r}{p}}}{a^{\frac{p}{r}}} \right)^{\frac{rp}{r+p}}$

$= \left( a^{\frac{p}{q} - \frac{q}{p}} \right)^{\frac{pq}{p+q}} \times \left( a^{\frac{q}{r} - \frac{r}{q}} \right)^{\frac{qr}{q+r}}$$ \times \left( a^{\frac{r}{p} - \frac{p}{r}} \right)^{\frac{rp}{r+p}}$

$= \left( a^{\frac{p^2 - q^2}{pq}} \right)^{\frac{pq}{p+q}} \times \left( a^{\frac{q^2 - r^2}{qr}} \right)^{\frac{qr}{q+r}}$$ \times \left( a^{\frac{r^2 - p^2}{rp}} \right)^{\frac{rp}{r+p}}$

$= a^{\frac{(p-q)(p+q)}{pq} \times \frac{pq}{p+q}} \times a^{\frac{(q-r)(q+r)}{qr} \times \frac{qr}{q+r}}$$ \times a^{\frac{(r-p)(r+p)}{rp} \times \frac{rp}{r+p}}$

$= a^{p-q} \times a^{q-r} \times a^{r-p}$

ভিত্তিগুলো একত্র করে পাই,

$= a^{p-q+q-r+r-p}$

$= a^0$

$= 1$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $1$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$B = \frac{\log_{10}\sqrt8 + \log_{10}3\sqrt3 - \frac{3}{2}\log_{10}5}{\log_{10}1.2}$

বামপক্ষ,

$= B$

$= \frac{\log_{10}\sqrt{2^3} + \log_{10}\sqrt{3^3} - \frac{3}{2}\log_{10}5}{\log_{10}1.2}$

$= \frac{\log_{10}(2^3)^{\frac{1}{2}} + \log_{10}(3^3)^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2}\log_{10}5}{\log_{10}1.2}$

$= \frac{\log_{10}2^{\frac{3}{2}} + \log_{10}3^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2}\log_{10}5}{\log_{10}1.2}$

$= \frac{\frac{3}{2}\log_{10}2 + \frac{3}{2}\log_{10}3 - \frac{3}{2}\log_{10}5}{\log_{10}1.2}$

লব থেকে $\frac{3}{2}$ কমন নিয়ে পাই,

$= \frac{\frac{3}{2}(\log_{10}2 + \log_{10}3 - \log_{10}5)}{\log_{10}1.2}$

$= \frac{\frac{3}{2} \log_{10} \left( \frac{2 \times 3}{5} \right)}{\log_{10}1.2}$

$= \frac{\frac{3}{2} \log_{10} \left( \frac{6}{5} \right)}{\log_{10}1.2}$

$= \frac{\frac{3}{2} \log_{10}1.2}{\log_{10}1.2}$

লব ও হর হতে $\log_{10}1.2$ বাদ দিয়ে পাই,

$= \dfrac{3}{2}$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $B = \frac{3}{2}$ Proved