(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$y = 3$

$\sqrt{y^3}$ এর $3$ ভিত্তিক লগ

$= \log_3(\sqrt{y^3})$

মান বসিয়ে পাই,

$= \log_3(\sqrt{3^3})$

$= \log_3(3^{\frac{3}{2}})$

$= \frac{3}{2} \log_3 3$

$= \frac{3}{2} \times 1$    [যেহেতু $\log_a a = 1$]

$= \frac{3}{2}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\frac{3}{2}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$x=2$, $y=3$, $z=5$, $w=7$

প্রদত্ত রাশি, $w\log\frac{xz}{y^2}-x\log\dfrac{z^2}{x^2y}+y\log\dfrac{y^4}{x^4z}$

মান বসিয়ে পাই,

$= 7\log\frac{2 \times 5}{3^2}-2\log\frac{5^2}{2^2 \times 3}+3\log\frac{3^4}{2^4 \times 5}$

$= \log\left(\frac{2 \times 5}{3^2}\right)^7 - \log\left(\frac{5^2}{2^2 \times 3}\right)^2 + \log\left(\frac{3^4}{2^4 \times 5}\right)^3$

$= \log\frac{2^7 \times 5^7}{3^{14}} - \log\frac{5^4}{2^4 \times 3^2} + \log\frac{3^{12}}{2^{12} \times 5^3}$

$= \log\left( \frac{2^7 \times 5^7}{3^{14}} \div \frac{5^4}{2^4 \times 3^2} \times \frac{3^{12}}{2^{12} \times 5^3} \right)$

$= \log\left( \frac{2^7 \times 5^7}{3^{14}} \times \frac{2^4 \times 3^2}{5^4} \times \frac{3^{12}}{2^{12} \times 5^3} \right)$

$= \log\left( \frac{2^{7+4} \times 3^{2+12} \times 5^7}{2^{12} \times 3^{14} \times 5^{4+3}} \right)$

$= \log\left( \frac{2^{11} \times 3^{14} \times 5^7}{2^{12} \times 3^{14} \times 5^7} \right)$

$= \log\left( 2^{11-12} \times 3^{14-14} \times 5^{7-7} \right)$

$= \log\left( 2^{-1} \times 3^0 \times 5^0 \right)$

$= \log\left( 2^{-1} \times 1 \times 1 \right)$

$= \log(2^{-1})$

$= -\log 2$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $-\log 2$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$x=2$, $y=3$, $z=5$

বামপক্ষ,

$= \frac{\log\sqrt{y^3}+y\log x-\frac{y}{x}\log\left(xz\right)}{\log\left(xy\right)-\log z}$

মান বসিয়ে পাই,

$= \frac{\log\sqrt{3^3}+3\log 2-\frac{3}{2}\log\left(2 \times 5\right)}{\log\left(2 \times 3\right)-\log 5}$

$= \frac{\log(3^{\frac{3}{2}}) + 3\log 2 - \frac{3}{2}\log 10}{\log 6 - \log 5}$

$= \frac{\frac{3}{2}\log 3 + \frac{3}{2}(2\log 2) - \frac{3}{2}\log(2 \times 5)}{\log 6 - \log 5}$

লব থেকে $\frac{3}{2}$ কমন নিয়ে পাই,

$= \frac{\frac{3}{2} \left[ \log 3 + 2\log 2 - \log(2 \times 5) \right]}{\log 6 - \log 5}$

$= \frac{\frac{3}{2} \left( \log 3 + \log 2^2 - \log 2 - \log 5 \right)}{\log 6 - \log 5}$

$= \frac{\frac{3}{2} \left( \log 3 + 2\log 2 - \log 2 - \log 5 \right)}{\log 6 - \log 5}$

$= \frac{\frac{3}{2} \left( \log 3 + \log 2 - \log 5 \right)}{\log 6 - \log 5}$

$= \frac{\frac{3}{2} \left( \log(3 \times 2) - \log 5 \right)}{\log 6 - \log 5}$

$= \frac{\frac{3}{2} \left( \log 6 - \log 5 \right)}{\log 6 - \log 5}$

লব ও হর হতে $(\log 6 - \log 5)$ বাদ দিয়ে পাই,

$= \frac{3}{2}$

আবার,

ডানপক্ষ $= \log_{y}\sqrt{y^3}$

$= \log_{3}\sqrt{3^3}$

$= \log_{3}(3^{\frac{3}{2}})$

$= \frac{3}{2} \log_{3}3$

$= \frac{3}{2} \times 1$

$= \frac{3}{2}$

$\therefore$ বামপক্ষ $=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $\frac{\log\sqrt{y^3}+y\log x-\frac{y}{x}\log\left(xz\right)}{\log\left(xy\right)-\log z}=\log_{y}\sqrt{y^3}$ Showed