(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\theta = 60^\circ$

প্রদত্ত রাশি:

$= 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$

মান বসিয়ে পাই,

$= 3 \sin 60^\circ - 4 (\sin 60^\circ)^3$

$= 3 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 4 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3$

ঘন (Cube) করে পাই,

$= \frac{3\sqrt{3}}{2} - 4 \left(\frac{3\sqrt{3}}{8}\right)$

কাটাকাটি করে পাই,

$= \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$= 0$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $0$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$m = \cot \theta + \cos \theta$

$n = \cot \theta - \cos \theta$

এবং $\frac{m}{n} = \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$

$m$ ও $n$ এর মান বসিয়ে পাই,

বা, $\frac{\cot \theta + \cos \theta}{\cot \theta - \cos \theta} = \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$

যোজন-বিয়োজন (Componendo and Dividendo) করে পাই,

বা, $\frac{(\cot \theta + \cos \theta) + (\cot \theta - \cos \theta)}{(\cot \theta + \cos \theta) - (\cot \theta - \cos \theta)} = \frac{(2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3}) - (2-\sqrt{3})}$

লব ও হরের যোগ-বিয়োগ করে পাই,

বা, $\frac{2 \cot \theta}{2 \cos \theta} = \frac{4}{2\sqrt{3}}$

বা, $\frac{\cot \theta}{\cos \theta} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

আমরা জানি, $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$

বা, $\frac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{\cos \theta} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

বা, $\frac{\cos \theta}{\sin \theta \cdot \cos \theta} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

বা, $\frac{1}{\sin \theta} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

ব্যস্তকরণ করে পাই,

বা, $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

আমরা জানি, $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\therefore \theta = 60^\circ$

আমাদের নির্ণয় করতে হবে $\tan \theta$ এর মান,

$\therefore \tan \theta = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\sqrt{3}$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$m = \cot \theta + \cos \theta$

$n = \cot \theta - \cos \theta$

প্রথমে আমরা $m^2 - n^2$ এর মান বের করি,

$m^2 - n^2 = (\cot \theta + \cos \theta)^2 - (\cot \theta - \cos \theta)^2$

বীজগণিতের সূত্র $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ প্রয়োগ করে পাই,

$m^2 - n^2 = 4 \cot \theta \cos \theta$

বামপক্ষ (L.H.S):

$= (m^2 - n^2)^2$

$= (4 \cot \theta \cos \theta)^2$

$= 16 \cot^2 \theta \cos^2 \theta$

আমরা জানি, $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$

$= 16 \cot^2 \theta (1 - \sin^2 \theta)$

$= 16 (\cot^2 \theta - \cot^2 \theta \cdot \sin^2 \theta)$

আবার, $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ মান বসিয়ে পাই,

$= 16 \left( \cot^2 \theta - \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} \cdot \sin^2 \theta \right)$

$= 16 (\cot^2 \theta - \cos^2 \theta)$

এখন, $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

$= 16 (\cot \theta + \cos \theta)(\cot \theta - \cos \theta)$

উদ্দীপকের মান বসিয়ে পাই,

$= 16mn$

ডানপক্ষ (R.H.S):

$= 16mn$

$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ

অর্থাৎ, $\left( m^2-n^2 \right)^2 = 16mn$ Proved