(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$X = \left(2a^{-1}+3b^{-1}\right)^{-1}$

$= \left(2 \cdot \dfrac{1}{a} + 3 \cdot \dfrac{1}{b}\right)^{-1}$

$= \left(\dfrac{2}{a} + \dfrac{3}{b}\right)^{-1}$

$= \left(\dfrac{2b + 3a}{ab}\right)^{-1}$

$= \dfrac{ab}{3a + 2b}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\dfrac{ab}{3a + 2b}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$Y = \sqrt[pq]{\dfrac{x^{p}}{x^{q}}}\times \sqrt[qr]{\dfrac{x^{q}}{x^{r}}}\times \sqrt[rp]{\dfrac{x^{r}}{x^{p}}}$

$= \left(\dfrac{x^p}{x^q}\right)^{\frac{1}{pq}} \times \left(\dfrac{x^q}{x^r}\right)^{\frac{1}{qr}} \times \left(\dfrac{x^r}{x^p}\right)^{\frac{1}{rp}}$

$= \left(x^{p-q}\right)^{\frac{1}{pq}} \times \left(x^{q-r}\right)^{\frac{1}{qr}} \times \left(x^{r-p}\right)^{\frac{1}{rp}}$

$= x^{\frac{p-q}{pq}} \times x^{\frac{q-r}{qr}} \times x^{\frac{r-p}{rp}}$

ভিত্তিগুলো একই হওয়ায় পাওয়ারগুলো যোগ করে পাই,

$= x^{\frac{p-q}{pq} + \frac{q-r}{qr} + \frac{r-p}{rp}}$

$= x^{\frac{r(p-q) + p(q-r) + q(r-p)}{pqr}}$

$= x^{\frac{pr - qr + pq - pr + qr - pq}{pqr}}$

$= x^{\frac{0}{pqr}}$

$= x^0$

$= 1$

এখন,

বামপক্ষ $= Y+\sqrt[4]{81}$

$= 1 + \sqrt[4]{3^4}$

$= 1 + \left(3^4\right)^{\frac{1}{4}}$

$= 1 + 3$

$= 4$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $Y+\sqrt[4]{81}=4$ Showed

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$Z = \dfrac{5^{m+1}}{\left(5^{m}\right)^{m-1}}\div\dfrac{25^{m+1}}{\left(5^{m-1}\right)^{m+1}}$

এবং 'খ' হতে পাই, $Y = 1$

এখন, $Z$ এর সরল মান নির্ণয় করি,

$Z = \dfrac{5^{m+1}}{5^{m(m-1)}} \div \dfrac{(5^2)^{m+1}}{5^{(m-1)(m+1)}}$

$= \dfrac{5^{m+1}}{5^{m^2-m}} \div \dfrac{5^{2(m+1)}}{5^{m^2-1}}$

$= \dfrac{5^{m+1}}{5^{m^2-m}} \div \dfrac{5^{2m+2}}{5^{m^2-1}}$

$= 5^{(m+1)-(m^2-m)} \div 5^{(2m+2)-(m^2-1)}$

$= 5^{m+1-m^2+m} \div 5^{2m+2-m^2+1}$

$= 5^{-m^2+2m+1} \div 5^{-m^2+2m+3}$

$= 5^{(-m^2+2m+1) - (-m^2+2m+3)}$

$= 5^{-m^2+2m+1+m^2-2m-3}$

$= 5^{-2}$

$= \dfrac{1}{5^2}$

$= \dfrac{1}{25}$

এখন,

বামপক্ষ $= Y \div Z$

$= 1 \div \dfrac{1}{25}$

$= 1 \times 25$

$= 25$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $Y\div Z=25$ Showed