(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$9^x = 27$

বা, $(3^2)^x = 3^3$

বা, $3^{2x} = 3^3$

উভয়পক্ষ থেকে ভিত্তি $3$ বাদ দিয়ে পাই,

$2x = 3$

$\therefore x = \dfrac{3}{2}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $x = \dfrac{3}{2}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$A = \sqrt{\left( \dfrac{a^{p+q}}{a^{2p}} \right)^{p^2+pq+q^2}} \times $$\sqrt{\left( \dfrac{a^{q+r}}{a^{2q}} \right)^{q^2+qr+r^2}} \times $$\sqrt{\left( \dfrac{a^{r+p}}{a^{2r}} \right)^{r^2+rp+p^2}}$

$= \left( a^{p+q-2p} \right)^{\frac{1}{2}(p^2+pq+q^2)} \times $$\left( a^{q+r-2q} \right)^{\frac{1}{2}(q^2+qr+r^2)} \times $$\left( a^{r+p-2r} \right)^{\frac{1}{2}(r^2+rp+p^2)}$

$= \left( a^{q-p} \right)^{\frac{1}{2}(p^2+pq+q^2)} \times $$\left( a^{r-q} \right)^{\frac{1}{2}(q^2+qr+r^2)} \times $$\left( a^{p-r} \right)^{\frac{1}{2}(r^2+rp+p^2)}$

$= a^{\frac{1}{2}(q-p)(p^2+pq+q^2)} \times $$a^{\frac{1}{2}(r-q)(q^2+qr+r^2)} \times $$a^{\frac{1}{2}(p-r)(r^2+rp+p^2)}$

আমরা জানি, $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$

$= a^{\frac{1}{2}(q^3-p^3)} \times $$a^{\frac{1}{2}(r^3-q^3)} \times $$a^{\frac{1}{2}(p^3-r^3)}$

ভিত্তিগুলো একই হওয়ায় পাওয়ারগুলো যোগ করে পাই,

$= a^{\frac{q^3-p^3}{2} + \frac{r^3-q^3}{2} + \frac{p^3-r^3}{2}}$

$= a^{\frac{q^3-p^3 + r^3-q^3 + p^3-r^3}{2}}$

$= a^{\frac{0}{2}}$

$= a^0$

$= 1$

সুতরাং, $A$ এর নির্ণেয় সরল মান $1$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$B = \dfrac{\log_{10}\sqrt8 + \log_{10}\sqrt{125} - \log_{10}4}{3 \log_{10}5 - \log_{10}2}$

প্রথমে লবের অংশটি সরল করি,

লব $= \log_{10}\sqrt8 + \log_{10}\sqrt{125} - \log_{10}4$

$= \log_{10}\sqrt{2^3} + \log_{10}\sqrt{5^3} - \log_{10}2^2$

$= \log_{10}(2^3)^{\frac{1}{2}} + \log_{10}(5^3)^{\frac{1}{2}} - 2\log_{10}2$

$= \log_{10}2^{\frac{3}{2}} + \log_{10}5^{\frac{3}{2}} - 2\log_{10}2$

$= \dfrac{3}{2}\log_{10}2 + \dfrac{3}{2}\log_{10}5 - 2\log_{10}2$

$= \dfrac{3}{2}\log_{10}5 + \left(\dfrac{3}{2} - 2\right)\log_{10}2$

$= \dfrac{3}{2}\log_{10}5 + \left(\dfrac{3-4}{2}\right)\log_{10}2$

$= \dfrac{3}{2}\log_{10}5 - \dfrac{1}{2}\log_{10}2$

$\dfrac{1}{2}$ কমন নিয়ে পাই,

$= \dfrac{1}{2} (3\log_{10}5 - \log_{10}2)$

এখন,

বামপক্ষ,

$= B$

$= \dfrac{\frac{1}{2}(3\log_{10}5 - \log_{10}2)}{3 \log_{10}5 - \log_{10}2}$

লব ও হর হতে $(3 \log_{10}5 - \log_{10}2)$ বাদ দিয়ে পাই,

$= \dfrac{1}{2}$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $B = \dfrac{1}{2}$ Proved