(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$a = \log_x(xyz)$

এবং, $x = \sqrt5$, $y = \sqrt5$, $z = 25$

প্রথমে $xyz$ এর মান বের করি,

$xyz = \sqrt5 \cdot \sqrt5 \cdot 25$

$= (\sqrt5)^2 \cdot 25$

$= 5 \cdot 25$

$= 125$

এখন $a$ এর মান নির্ণয় করি,

$a = \log_{\sqrt5}(125)$

$= \log_{\sqrt5}(5^3)$

$= \log_{\sqrt5}\left\{(\sqrt5)^2\right\}^3$

$= \log_{\sqrt5}(\sqrt5)^6$

$= 6 \log_{\sqrt5}(\sqrt5)$

$= 6 \cdot 1$ [যেহেতু $\log_a a = 1$]

$= 6$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $6$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$a = \log_x(xyz)$

লগারিদমের সংজ্ঞানুসারে পাই, $x^a = xyz$ ....... (i)

$b = \log_y(xyz)$

লগারিদমের সংজ্ঞানুসারে পাই, $y^b = xyz$ ....... (ii)

$c = \log_z(xyz)$

লগারিদমের সংজ্ঞানুসারে পাই, $z^c = xyz$ ....... (iii)

প্রদত্ত রাশি,

$= \dfrac{x^{a-1}}{yz} + \dfrac{y^{b-1}}{zx} + \dfrac{z^{c-1}}{xy}$

$= \dfrac{x^a \cdot x^{-1}}{yz} + \dfrac{y^b \cdot y^{-1}}{zx} + \dfrac{z^c \cdot z^{-1}}{xy}$

$= \dfrac{x^a}{x \cdot yz} + \dfrac{y^b}{y \cdot zx} + \dfrac{z^c}{z \cdot xy}$

$= \dfrac{x^a}{xyz} + \dfrac{y^b}{xyz} + \dfrac{z^c}{xyz}$

সমীকরণ (i), (ii) ও (iii) হতে $x^a$, $y^b$ ও $z^c$ এর মান বসিয়ে পাই,

$= \dfrac{xyz}{xyz} + \dfrac{xyz}{xyz} + \dfrac{xyz}{xyz}$

$= 1 + 1 + 1$

$= 3$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $3$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$a = \log_x(xyz)$

বা, $\dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{\log_x(xyz)}$

বা, $\dfrac{1}{a} = \log_{xyz}(x)$ [যেহেতু $\dfrac{1}{\log_m n} = \log_n m$]

একইভাবে,

$b = \log_y(xyz)$

বা, $\dfrac{1}{b} = \log_{xyz}(y)$

এবং,

$c = \log_z(xyz)$

বা, $\dfrac{1}{c} = \log_{xyz}(z)$

এখন, বামপক্ষ,

$= \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$

মানগুলো বসিয়ে পাই,

$= \log_{xyz}(x) + \log_{xyz}(y) + \log_{xyz}(z)$

$= \log_{xyz}(x \cdot y \cdot z)$ [যেহেতু $\log_a m + \log_a n = \log_a(mn)$]

$= \log_{xyz}(xyz)$

$= 1$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 1$ Proved