দেওয়া আছে,
$B=\dfrac{5^{m+1}}{(5^m)^{m-1}}$

$=\dfrac{5^{m+1}}{5^{m(m-1)}}$

$=5^{m+1-m^2+m}$

$=5^{2m+1-m^2}$

আবার,
$C=\dfrac{25^{m+1}}{(5^{m-1})^{m+1}}$

$=\dfrac{(5^2)^{m+1}}{5^{(m-1)(m+1)}}$

$=\dfrac{5^{2m+2}}{5^{m^2-1}}$

$=5^{2m+2-m^2+1}$

$=5^{2m+3-m^2}$

সুতরাং,
$B\div C$

$=5^{2m+1-m^2}\div 5^{2m+3-m^2}$

$=5^{2m+1-m^2-(2m+3-m^2)}$

$=5^{-2}$

$=\dfrac{1}{25}$

$\therefore B\div C=\dfrac{1}{25}$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$y=\dfrac{(7^{m-1})^m}{(49)^{1-m}} \div \dfrac{(7^{m+1})^{m+1}}{7^{m+3}}$

$=\dfrac{7^{m(m-1)}}{(7^2)^{1-m}} \times \dfrac{7^{m+3}}{7^{(m+1)^2}}$

$=\dfrac{7^{m^2-m}}{7^{2-2m}} \times \dfrac{7^{m+3}}{7^{m^2+2m+1}}$

$=7^{m^2-m-2+2m+m+3-m^2-2m-1}$

$=7^0$

$=1$

আবার,
$\log_7\sqrt[3]{343}$

$=\log_7(343^{1/3})$

$=\log_7 7$

$=1$

সুতরাং,
$y\div\log_7\sqrt[3]{343}$

$=1\div1$

$=1$

(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $y=3$

প্রদত্ত রাশি,

$=\dfrac{y^{a+1}}{y^{a(a-1)}} \times \dfrac{(y^{a+1})^{a-1}}{(3y)^{a+1}} \times y^2$

$=y^{a+1-a^2+a} \times \dfrac{y^{a^2-1}}{(3y)^{a+1}} \times y^2$

$=\dfrac{y^{2a+1-a^2+a^2-1+2}}{(3y)^{a+1}}$

$=\dfrac{y^{2a+2}}{(3y)^{a+1}}$

$=\dfrac{y^{2a+2}}{3^{a+1}y^{a+1}}$

$=\dfrac{y^{a+1}}{3^{a+1}}$

যেহেতু $y=3$, তাই

$=\dfrac{3^{a+1}}{3^{a+1}}$

$=1$

$\therefore$ নির্ণেয় মান $=1$

$A=6^{p+q}$, $B=6^{q+r}$, $C=6^{r+p}$

$\therefore \dfrac{A}{B} =6^{(p+q)-(q+r)} =6^{p-r}$

$\therefore \dfrac{B}{C} =6^{(q+r)-(r+p)} =6^{q-p}$

$\therefore \dfrac{C}{A} =6^{(r+p)-(p+q)} =6^{r-q}$

প্রদত্ত রাশি,

$=(6^{p-r})^{p+r} (6^{q-p})^{q+p} (6^{r-q})^{r+q}$

$=6^{(p-r)(p+r)+(q-p)(q+p)+(r-q)(r+q)}$

$=6^{(p^2-r^2)+(q^2-p^2)+(r^2-q^2)}$

$=6^0$

$=1$

$\therefore$ নির্ণেয় মান $=1$

দেওয়া আছে,
$A=6^{p+q}$, $B=6^{q+r}$, $C=6^{r+p}$

$\therefore AB =6^{p+q} \times 6^{q+r} =6^{p+2q+r}$

$\therefore BC =6^{q+r} \times 6^{r+p} =6^{p+q+2r}$

$\therefore CA =6^{r+p} \times 6^{p+q} =6^{2p+q+r}$

বামপক্ষ,

$=(AB)^{p-r}(BC)^{q-p}(CA)^{r-q}$

$=6^{(p+2q+r)(p-r)} 6^{(p+q+2r)(q-p)} 6^{(2p+q+r)(r-q)}$

$=6^{[(p+2q+r)(p-r)+(p+q+2r)(q-p)+(2p+q+r)(r-q)]}$

সূচকটি প্রসারণ করলে পাই,

$(p^2+2pq-2qr-r^2)$$+(-p^2+q^2+2qr-2pr)$$+(2pr-2pq+r^2-q^2)$

$=0$

সুতরাং,

বামপক্ষ $=6^0=1$

$\therefore (AB)^{p-r}(BC)^{q-p}(CA)^{r-q}=1$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$A=x^p$, $B=x^q$, $C=x^r$

$\therefore \dfrac{A}{B}=x^{p-q}$

$\therefore \dfrac{B}{C}=x^{q-r}$

$\therefore \dfrac{C}{A}=x^{r-p}$

বামপক্ষ,

$=\left(x^{p-q}\right)^{p^2+pq+q^2} \left(x^{q-r}\right)^{q^2+qr+r^2} \left(x^{r-p}\right)^{r^2+rp+p^2}$

$=x^{(p-q)(p^2+pq+q^2) +(q-r)(q^2+qr+r^2) +(r-p)(r^2+rp+p^2)}$

$=x^{(p^3-q^3)+(q^3-r^3)+(r^3-p^3)}$

$=x^0$

$=1$

$\therefore \left(\frac{A}{B}\right)^{p^2+pq+q^2} \times \left(\frac{B}{C}\right)^{q^2+qr+r^2} \times \left(\frac{C}{A}\right)^{r^2+rp+p^2} =1$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$P=5^{b-c}$, $Q=5^{c-a}$, $R=5^{a-b}$

$\therefore \dfrac{P}{Q} =5^{(b-c)-(c-a)} =5^{a+b-2c}$

$\therefore \dfrac{Q}{R} =5^{(c-a)-(a-b)} =5^{b+c-2a}$

$\therefore \dfrac{R}{P} =5^{(a-b)-(b-c)} =5^{a+c-2b}$

বামপক্ষ,

$=5^{(a+b-2c)(b-a)} 5^{(b+c-2a)(c-b)} 5^{(a+c-2b)(a-c)}$

$=5^{[(a+b-2c)(b-a) +(b+c-2a)(c-b) +(a+c-2b)(a-c)]}$

সূচক প্রসারণ করলে পাই,

$(b^2-a^2-2bc+2ac)$
$+(c^2-b^2-2ac+2ab)$
$+(a^2-c^2-2ab+2bc)$

$=0$

$\therefore$ বামপক্ষ $=5^0=1$

$\therefore$ নির্ণেয় মান $=1$

দেওয়া আছে,
$a=\dfrac{x^p}{x^q}=x^{p-q}$

$b=\dfrac{x^q}{x^r}=x^{q-r}$

$c=\dfrac{x^r}{x^p}=x^{r-p}$

বামপক্ষ,

$=a^{\frac1{pq}} \times b^{\frac1{qr}} \times c^{\frac1{rp}}$

$=x^{\frac{p-q}{pq}} \times x^{\frac{q-r}{qr}} \times x^{\frac{r-p}{rp}}$

$=x^{\left(\frac1q-\frac1p\right) +\left(\frac1r-\frac1q\right) +\left(\frac1p-\frac1r\right)}$

$=x^0$

$=1$

$\therefore a^{\frac{1}{pq}} \times b^{\frac{1}{qr}} \times c^{\frac{1}{rp}} =1$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$a=x^{p-q}$, $b=x^{q-r}$, $c=x^{r-p}$

বামপক্ষ,

$\sqrt[pq]{a} \times \sqrt[qr]{b} \times \sqrt[rp]{c}$

$=a^{\frac1{pq}} \times b^{\frac1{qr}} \times c^{\frac1{rp}}$

$=x^{\frac{p-q}{pq}} \times x^{\frac{q-r}{qr}} \times x^{\frac{r-p}{rp}}$

$=x^{\left(\frac1q-\frac1p\right) +\left(\frac1r-\frac1q\right) +\left(\frac1p-\frac1r\right)}$

$=x^0$

$=1$

$\therefore \sqrt[pq]{a} \times \sqrt[qr]{b} \times \sqrt[rp]{c} =1$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$a=x^{2p}$, $b=x^{2q}$, $c=x^{2r}$

$\therefore \dfrac{a}{b} =x^{2p-2q} =x^{2(p-q)}$

$\therefore \dfrac{b}{c} =x^{2(q-r)}$

$\therefore \dfrac{c}{a} =x^{2(r-p)}$

বামপক্ষ,

$=\left(x^{2(p-q)}\right)^{p+q-r} \left(x^{2(q-r)}\right)^{q+r-p} \left(x^{2(r-p)}\right)^{r+p-q}$

$=x^{2[(p-q)(p+q-r) +(q-r)(q+r-p) +(r-p)(r+p-q)]}$

সূচক প্রসারণ করলে পাই,

$(p^2-q^2-pr+qr)$
$+(q^2-r^2-pq+pr)$
$+(r^2-p^2-qr+pq)$

$=0$

সুতরাং,

বামপক্ষ $=x^{2\times0}$

$=x^0$

$=1$

$\therefore \left(\frac{a}{b}\right)^{p+q-r} \times \left(\frac{b}{c}\right)^{q+r-p} \times \left(\frac{c}{a}\right)^{r+p-q} =1$

দেওয়া আছে,
$P=\dfrac{3.2^x-4.2^{x-2}}{2^x-2^{x-1}}$

$=\dfrac{3.2^x-2^2\cdot2^{x-2}}{2^x-2^{x-1}}$

$=\dfrac{3.2^x-2^x}{2^{x-1}(2-1)}$

$=\dfrac{2^x(3-1)}{2^{x-1}}$

$=\dfrac{2^{x+1}}{2^{x-1}}$

$=2^2$

$=4$

আবার,
$Q=\dfrac{2^{y+4}-4.2^{y+1}}{2^{y+2}\div2}$

$=\dfrac{2^{y+4}-2^2\cdot2^{y+1}}{2^{y+1}}$

$=\dfrac{2^{y+2}(4-1)}{2^{y+1}}$

$=\dfrac{3\cdot2^{y+2}}{2^{y+1}}$

$=3\cdot2$

$=6$

সুতরাং,
$P\div Q=\dfrac{4}{6}$

$=\dfrac{2}{3}$

$\therefore P\div Q=\dfrac{2}{3}$

প্রদত্ত রাশি,

$(12)^{-\frac12}\times\sqrt[3]{54}$

$=\dfrac{1}{\sqrt{12}}\times\sqrt[3]{54}$

$=\dfrac{1}{2\sqrt3}\times3\sqrt[3]{2}$

$=\dfrac{3\sqrt[3]{2}}{2\sqrt3}$

$=\dfrac{\sqrt3\sqrt[3]{2}}{2}$

$\therefore (12)^{-\frac12}\times\sqrt[3]{54} =\dfrac{\sqrt3\sqrt[3]{2}}{2}$

দেওয়া আছে,
$a=2$

প্রদত্ত রাশি,

$=\dfrac{a^{n+4}-a^{n+3}}{a^{n+1}} \times(12)^{-\frac12}$

$=\dfrac{a^{n+3}(a-1)}{a^{n+1}} \times(12)^{-\frac12}$

$=a^2(a-1)\times(12)^{-\frac12}$

$=2^2(2-1)\times(12)^{-\frac12}$

$=4\times\dfrac1{\sqrt{12}}$

$=\dfrac4{2\sqrt3}$

$=\dfrac2{\sqrt3}$

$=\dfrac{2\sqrt3}{3}$

$\therefore$ নির্ণেয় মান $=\dfrac{2\sqrt3}{3}$

দেওয়া আছে,

$3^x+3^{1-x}=4$

ধরি,
$3^x=t$

$\therefore 3^{1-x}=\dfrac3t$

সুতরাং,
$t+\dfrac3t=4$

$\Rightarrow t^2+3=4t$

$\Rightarrow t^2-4t+3=0$

$\Rightarrow (t-1)(t-3)=0$

$\therefore t=1 \;\; \text{অথবা}\;\; t=3$

অর্থাৎ,
$3^x=1 \Rightarrow x=0$

অথবা,
$3^x=3 \Rightarrow x=1$

$\therefore x=0$ অথবা $x=1$

দেওয়া আছে,
$x=2$, $y=3$, $z=5$

বামপক্ষ,

$= \dfrac{ \log\sqrt{y^3} +\log x^3 -\log\sqrt{x^3z^3} }{\log1.2}$

$= \dfrac{ \log\sqrt{27} +\log8 -\log\sqrt{1000} }{\log\left(\frac65\right)}$

$= \dfrac{ \log(3\sqrt3) +\log8 -\log(10\sqrt10) }{\log\left(\frac65\right)}$

$= \dfrac{ \log\left(\dfrac{24\sqrt3}{10\sqrt10}\right) }{\log\left(\frac65\right)}$

$= \dfrac{ \log\left(\dfrac{12}{5\sqrt{\frac{10}{3}}}\right) }{\log\left(\frac65\right)}$

$= \dfrac{ \log\left(\dfrac{6\sqrt3}{5\sqrt{10}}\right) }{\log\left(\frac65\right)}$

$= \dfrac{ \log\left(\dfrac65\sqrt{\dfrac3{10}}\right) }{\log\left(\frac65\right)}$

সরাসরি সূচক সূত্র ব্যবহার করে,

$\log\sqrt{y^3} =\dfrac32\log3$

$\log x^3=3\log2$

$\log\sqrt{x^3z^3} =\dfrac32(\log2+\log5)$

সুতরাং লব,

$=\dfrac32\log3+3\log2-\dfrac32\log2-\dfrac32\log5$

$=\dfrac32(\log3+\log2-\log5)$

$=\dfrac32\log\left(\dfrac65\right)$

অতএব,

$= \dfrac{\frac32\log\left(\frac65\right)} {\log\left(\frac65\right)} $

$=\dfrac32$

$\therefore \left(\log\sqrt{y^3}+\log x^3-\log\sqrt{x^3z^3}\right) \div\log1.2 =\dfrac32$

(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$L=\log_{10}\sqrt{27} =\dfrac12\log_{10}27 =\dfrac32\log_{10}3$

  $M=\log_{10}\sqrt{\dfrac18} =\dfrac12\log_{10}\dfrac18 =-\dfrac32\log_{10}2$

  $N=\dfrac12\log_{10}125 =\dfrac12\log_{10}5^3 =\dfrac32\log_{10}5$

  সুতরাং,

  $L-M-N$

  $=\dfrac32\log3+\dfrac32\log2-\dfrac32\log5$

  $=\dfrac32(\log3+\log2-\log5)$

  $=\dfrac32\log\dfrac65$

  $=\dfrac32\log1.2$

  অতএব,

  $\dfrac{L-M-N}{\log_{10}1.2}$

  $=\dfrac{\frac32\log1.2}{\log1.2}$

  $=\dfrac32$

  $\therefore \dfrac{L-M-N}{\log_{10}1.2} =\dfrac32$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$x=2$, $y=3$, $z=5$

  বামপক্ষের লব,

  $=\log\sqrt{3^3}+3\log2-\frac23\log(2\cdot5)$

  $=\frac32\log3+3\log2-\frac23\log10$

  $=\frac32\log3+3\log2-\frac23$

  আবার,

  হর,

  $=\log(2\cdot3)-\log5$

  $=\log\dfrac65$

  ডানপক্ষ,

  $\log_3\sqrt{3^3}$

  $=\log_3(3^{3/2})$

  $=\dfrac32$

  সুতরাং,

  বামপক্ষ $=$ ডানপক্ষ

  $\therefore \dfrac{\log\sqrt{y^3}+y\log x-\frac{x}{y}\log(xz)} {\log(xy)-\log z} =\log_y\sqrt{y^3}$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,

  $A= \dfrac{\log\sqrt{27}+\log8-\log\sqrt{512}} {\log3-\log2}$

  $= \dfrac{ \frac32\log3+3\log2-\frac12\log512 } {\log3-\log2}$

  $= \dfrac{ \frac32\log3+3\log2-\frac12(9\log2) } {\log3-\log2}$

  $= \dfrac{ \frac32\log3-\frac32\log2 } {\log3-\log2}$

  $= \dfrac{ \frac32(\log3-\log2) } {\log3-\log2}$

  $=\dfrac32$

  $\therefore A=\dfrac32$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,

  $P=\log\sqrt{27}+\log8-\log\sqrt{1000}$

  $=\frac32\log3+3\log2-\frac12\log1000$

  $=\frac32\log3+3\log2-\frac32$

  যেহেতু $\log10=1$, তাই

  $=\frac32\log3+3\log2-\frac32\log10$

  $=\frac32\log3+3\log2-\frac32(\log2+\log5)$

  $=\frac32\log3+\frac32\log2-\frac32\log5$

  $=\frac32(\log3+\log2-\log5)$

  $=\frac32\log\dfrac65$

  $=\frac32\log1.2$

  অতএব,

  $P\div\log1.2$

  $= \dfrac{\frac32\log1.2} {\log1.2}$

  $=\dfrac32$

  $\therefore P\div\log_{10}1.2=\dfrac32$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,

$B= \dfrac{\log\sqrt{125}+\log27-\log\sqrt{1000}} {\log4.5}$

$= \dfrac{ \frac12\log125+\log27-\frac12\log1000 } {\log4.5}$

$= \dfrac{ \frac12\log5^3+\log3^3-\frac12\log10^3 } {\log4.5}$

$= \dfrac{ \frac32\log5+3\log3-\frac32\log10 } {\log4.5}$

$= \dfrac{ \frac32\log5+3\log3-\frac32(\log2+\log5) } {\log4.5}$

$= \dfrac{ 3\log3-\frac32\log2 } {\log4.5}$

$= \dfrac{ \frac32(2\log3-\log2) } {\log4.5}$

$= \dfrac{ \frac32\log\left(\frac{3^2}{2}\right) } {\log4.5}$

$= \dfrac{ \frac32\log\left(\frac92\right) } {\log4.5}$

$= \dfrac{ \frac32\log4.5 } {\log4.5}$

$=\frac32$

সুতরাং,

$B\div3$

$=\dfrac{\frac32}{3}$

$=\dfrac12$

$\therefore B\div3=\dfrac12$

(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$a=2$, $b=3$, $c=8$

বামপক্ষ,

$= \dfrac{ \log\sqrt{3^3} +\log8 -\log\sqrt{8^3} } {\log\frac{3}{2}}$

$= \dfrac{ \frac32\log3 +3\log2 -\frac32\log8 } {\log\frac32}$

$= \dfrac{ \frac32\log3 +3\log2 -\frac32(3\log2) } {\log\frac32}$

$= \dfrac{ \frac32\log3 -\frac32\log2 } {\log\frac32}$

$= \dfrac{ \frac32(\log3-\log2) } {\log\frac32}$

$= \dfrac{ \frac32\log\frac32 } {\log\frac32}$

$=\frac32$

$\therefore \dfrac{\log\sqrt{b^3}+\log c-\log\sqrt{c^3}} {\log\frac{b}{a}} =\dfrac32$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,

$R=\log\sqrt{125}+\log27-\log\sqrt{1000}$

$= \frac12\log125 +\log27 -\frac12\log1000$

$= \frac32\log5 +3\log3 -\frac32\log10$

$= \frac32\log5 +3\log3 -\frac32(\log2+\log5)$

$= 3\log3-\frac32\log2$

$= \frac32(2\log3-\log2)$

$= \frac32\log\frac92$

$= \frac32\log4.5$

সুতরাং,

$R\div6$

$= \dfrac{\frac32\log4.5}{6}$

$= \frac14\log4.5$

$\therefore R\div6=\dfrac14\log_{10}4.5$

দ্রষ্টব্য: প্রশ্নে $R\div6=\dfrac14$ দেওয়া থাকলে তা সঠিক নয়। সঠিক ফলাফল $R\div6=\dfrac14\log_{10}4.5$।

দেওয়া আছে,
$x=2$, $y=3$, $z=5$, $w=7$

প্রদত্ত রাশি,

$= 7\log\dfrac{10}{9} -2\log\dfrac{25}{24} +3\log\dfrac{81}{80}$

$= \log\left(\dfrac{10}{9}\right)^7 -\log\left(\dfrac{25}{24}\right)^2 +\log\left(\dfrac{81}{80}\right)^3$

$= \log\left[ \dfrac{\left(\frac{10}{9}\right)^7 \left(\frac{81}{80}\right)^3} {\left(\frac{25}{24}\right)^2} \right]$

$= \log\left[ \dfrac{ 2^7 5^7 }{ 3^{14} } \cdot \dfrac{ 3^{12} }{ 2^{12}5^3 } \cdot \dfrac{ 2^6 3^2 }{ 5^4 } \right]$

$= \log(2^{7-12+6}3^{-14+12+2}5^{7-3-4})$

$= \log(2)$

$\therefore$ নির্ণেয় মান $=\log 2$

দেওয়া আছে,
$A=x^p$, $B=x^q$, $C=x^r$

$\therefore ABC=x^p\cdot x^q\cdot x^r$

$=x^{p+q+r}$

সুতরাং,

$\log_x(ABC)$

$= \log_x(x^{p+q+r})$

$= p+q+r$

আবার,

$\log_xA+\log_xB+\log_xC$

$= \log_x(x^p) +\log_x(x^q) +\log_x(x^r)$

$= p+q+r$

অতএব,

$\log_x(ABC) = \log_xA+\log_xB+\log_xC$

(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,

$125^p-11\times25^p+24=7(7-5\times5^p)$

$\Rightarrow 5^{3p}-11\cdot5^{2p}+24 =49-35\cdot5^p$

ধরি,
$5^p=t$

তাহলে,

$t^3-11t^2+35t-25=0$

এখন $t=1$ বসালে পাই,

$1-11+35-25=0$

সুতরাং $(t-1)$ একটি উৎপাদক।

$t^3-11t^2+35t-25$

$=(t-1)(t^2-10t+25)$

$=(t-1)(t-5)^2$

$\therefore t=1$ অথবা $t=5$

অর্থাৎ,

$5^p=1 \Rightarrow p=0$

অথবা,

$5^p=5 \Rightarrow p=1$

$\therefore p=0$ অথবা $p=1$

দেওয়া আছে,

$2\log_3x-\log_3(x+6)+1=2$

$\Rightarrow 2\log_3x-\log_3(x+6)=1$

$\Rightarrow \log_3x^2-\log_3(x+6)=1$

$\Rightarrow \log_3\left(\dfrac{x^2}{x+6}\right)=1$

$\Rightarrow \dfrac{x^2}{x+6}=3$

$\Rightarrow x^2=3x+18$

$\Rightarrow x^2-3x-18=0$

$\Rightarrow (x-6)(x+3)=0$

$\therefore x=6$ অথবা $x=-3$

কিন্তু লগের শর্ত অনুযায়ী $x>0$ হতে হবে।

সুতরাং, $x=-3$ গ্রহণযোগ্য নয়।

$\therefore x=6$

দেওয়া আছে,

$L=\log\sqrt{27} =\dfrac12\log27 =\dfrac32\log3$

$M=\log\sqrt{\dfrac18} =\dfrac12\log\dfrac18 =-\dfrac32\log2$

$N=\dfrac12\log125 =\dfrac12\log5^3 =\dfrac32\log5$

সুতরাং,

$L-M-N$

$=\dfrac32\log3+\dfrac32\log2-\dfrac32\log5$

$=\dfrac32(\log3+\log2-\log5)$

$=\dfrac32\log\dfrac65$

$=\dfrac32\log1.2$

অতএব,

$(L-M-N)\div\log1.2$

$=\dfrac{\frac32\log1.2}{\log1.2}$

$=\dfrac32$

$\therefore (L-M-N)\div\log_{10}1.2=\dfrac32$

(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,

$a=\dfrac{x^p}{x^q}=x^{p-q}$

$b=\dfrac{x^q}{x^r}=x^{q-r}$

$c=\dfrac{x^r}{x^p}=x^{r-p}$

সুতরাং,

$\log a=(p-q)\log x$

$\log b=(q-r)\log x$

$\log c=(r-p)\log x$

বামপক্ষ,

$=(p+q)(p-q)\log x +(q+r)(q-r)\log x +(r+p)(r-p)\log x$

$=\Big[(p^2-q^2) +(q^2-r^2) +(r^2-p^2)\Big]\log x$

$=0\cdot\log x$

$=0$

$\therefore (p+q)\log a+(q+r)\log b+(r+p)\log c=0$

(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,

$L=\dfrac{x^p}{x^q}=x^{p-q}$

$M=\dfrac{x^q}{x^r}=x^{q-r}$

$N=\dfrac{x^r}{x^p}=x^{r-p}$

বামপক্ষ,

$=\log_KL^{p+q} +\log_KM^{q+r} +\log_KN^{r+p}$

$=(p+q)\log_KL +(q+r)\log_KM +(r+p)\log_KN$

$=(p+q)(p-q)\log_Kx$
$+(q+r)(q-r)\log_Kx$
$+(r+p)(r-p)\log_Kx$

$=\Big[(p^2-q^2) +(q^2-r^2) +(r^2-p^2)\Big]\log_Kx$

$=0\cdot\log_Kx$

$=0$

$\therefore \log_KL^{p+q} +\log_KM^{q+r} +\log_KN^{r+p} =0$

(প্রমাণিত)