ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৩৫

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\sin A = \frac{4}{5}$

আমরা জানি,

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$

বা, $\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$

বা, $\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A}$

মান বসিয়ে পাই,

বা, $\cos A = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2}$

বা, $\cos A = \sqrt{1 - \frac{16}{25}}$

বা, $\cos A = \sqrt{\frac{25 - 16}{25}}$

বা, $\cos A = \sqrt{\frac{9}{25}}$

$\therefore \cos A = \frac{3}{5}$ [যেহেতু $A$ সূক্ষ্মকোণ, তাই মান ধনাত্মক]

এখন, $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$

$= \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}$

$= \frac{4}{5} \times \frac{5}{3}$

$= \frac{4}{3}$

সুতরাং, $\tan A$-এর নির্ণেয় মান $\frac{4}{3}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$a = \cot \theta + \cos \theta$

$b = \cot \theta - \cos \theta$

প্রশ্নমতে,

$b = \sqrt{2} \cos \theta$

বা, $\cot \theta - \cos \theta = \sqrt{2} \cos \theta$

পক্ষান্তর করে পাই,

বা, $\cot \theta = \sqrt{2} \cos \theta + \cos \theta$

বা, $\cot \theta = \cos \theta (\sqrt{2} + 1)$

উভয়পক্ষকে $(\sqrt{2} - 1)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

বা, $\cot \theta (\sqrt{2} - 1) = \cos \theta (\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)$

বা, $\sqrt{2} \cot \theta - \cot \theta = \cos \theta \left\{ (\sqrt{2})^2 - 1^2 \right\}$

বা, $\sqrt{2} \cot \theta - \cot \theta = \cos \theta (2 - 1)$

বা, $\sqrt{2} \cot \theta - \cot \theta = \cos \theta$

আবার পক্ষান্তর করে পাই,

বা, $\sqrt{2} \cot \theta = \cot \theta + \cos \theta$

বা, $\sqrt{2} \cot \theta = a$     [যেহেতু $a = \cot \theta + \cos \theta$]

$\therefore a = \sqrt{2} \cot \theta$

সুতরাং, $a = \sqrt{2} \cot \theta$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\frac{a}{b} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$

$a$ এবং $b$ এর মান বসিয়ে পাই,

বা, $\frac{\cot \theta + \cos \theta}{\cot \theta - \cos \theta} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$

যোজন-বিয়োজন (Componendo and Dividendo) করে পাই,

বা, $\frac{(\cot \theta + \cos \theta) + (\cot \theta - \cos \theta)}{(\cot \theta + \cos \theta) - (\cot \theta - \cos \theta)} = \frac{(2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3})}$

লব ও হরের যোগ-বিয়োগ করে পাই,

বা, $\frac{\cot \theta + \cos \theta + \cot \theta - \cos \theta}{\cot \theta + \cos \theta - \cot \theta + \cos \theta} = \frac{2 + \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3}}$

বা, $\frac{2 \cot \theta}{2 \cos \theta} = \frac{4}{2\sqrt{3}}$

$2$ দ্বারা ভাগ করে পাই,

বা, $\frac{\cot \theta}{\cos \theta} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

$\cot \theta$ কে সাইন ও কোসাইনে ভেঙে পাই,

বা, $\frac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{\cos \theta} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

বা, $\frac{\cos \theta}{\sin \theta} \times \frac{1}{\cos \theta} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

বা, $\frac{1}{\sin \theta} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

বিপরীতকরণ করে পাই,

বা, $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

বা, $\sin \theta = \sin 60^\circ$     [যেহেতু $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$]

$\therefore \theta = 60^\circ$

যেহেতু $\theta$ সূক্ষ্মকোণ, তাই মানটি গ্রহণযোগ্য।

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\theta = 60^\circ$। Answer