(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

প্রথম রাশি $= 6^{p+2q} \cdot 12^{-p+q} \cdot 20^{2p+q}$

$= (2 \cdot 3)^{p+2q} \cdot (2^2 \cdot 3)^{-p+q} \cdot (2^2 \cdot 5)^{2p+q}$

$= 2^{p+2q} \cdot 3^{p+2q} \cdot 2^{2(-p+q)} \cdot 3^{-p+q} \cdot 2^{2(2p+q)} \cdot 5^{2p+q}$

$= 2^{p+2q} \cdot 3^{p+2q} \cdot 2^{-2p+2q} \cdot 3^{-p+q} \cdot 2^{4p+2q} \cdot 5^{2p+q}$

ভিত্তিগুলো একত্র করে পাই,

$= 2^{p+2q-2p+2q+4p+2q} \cdot 3^{p+2q-p+q} \cdot 5^{2p+q}$

$= 2^{3p+6q} \cdot 3^{3q} \cdot 5^{2p+q}$

সুতরাং, নির্ণেয় রাশি $2^{3p+6q} \cdot 3^{3q} \cdot 5^{2p+q}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

দ্বিতীয় রাশি $= 9^{p-q} \cdot 8^{-p-2q} \cdot 15^{-2p-q}$

$= (3^2)^{p-q} \cdot (2^3)^{-p-2q} \cdot (3 \cdot 5)^{-2p-q}$

$= 3^{2(p-q)} \cdot 2^{3(-p-2q)} \cdot 3^{-2p-q} \cdot 5^{-2p-q}$

$= 3^{2p-2q} \cdot 2^{-3p-6q} \cdot 3^{-2p-q} \cdot 5^{-2p-q}$

$= 2^{-3p-6q} \cdot 3^{2p-2q-2p-q} \cdot 5^{-2p-q}$

$= 2^{-3p-6q} \cdot 3^{-3q} \cdot 5^{-2p-q}$

এখন, রাশি দুইটির গুণফল,

$= (2^{3p+6q} \cdot 3^{3q} \cdot 5^{2p+q}) \times (2^{-3p-6q} \cdot 3^{-3q} \cdot 5^{-2p-q})$ [ (ক) নং এর মান বসিয়ে ]

$= 2^{3p+6q-3p-6q} \cdot 3^{3q-3q} \cdot 5^{2p+q-2p-q}$

$= 2^0 \cdot 3^0 \cdot 5^0$

$= 1 \cdot 1 \cdot 1$

$= 1$

সুতরাং, নির্ণেয় গুণফল $1$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

(খ) হতে প্রাপ্ত, রাশি দুইটির গুণফল $= 1$

এখন, প্রদত্ত যোগফল,

$= p(p+q^{-1})^{-1} + p^{-1}(q+p^{-1})^{-1}$

$= p \left( p + \dfrac{1}{q} \right)^{-1} + \dfrac{1}{p} \left( q + \dfrac{1}{p} \right)^{-1}$

$= p \left( \dfrac{pq+1}{q} \right)^{-1} + \dfrac{1}{p} \left( \dfrac{pq+1}{p} \right)^{-1}$

$= p \cdot \dfrac{q}{pq+1} + \dfrac{1}{p} \cdot \dfrac{p}{pq+1}$

$= \dfrac{pq}{pq+1} + \dfrac{1}{pq+1}$

$= \dfrac{pq+1}{pq+1}$

$= 1$

দেখা যাচ্ছে, প্রদত্ত যোগফল এবং রাশি দুইটির গুণফল উভয়ের মান $1$।

সুতরাং, রাশি দুইটির গুণফল $p(p+q^{-1})^{-1}$ ও $p^{-1}(q+p^{-1})^{-1}$ এর যোগফলের সমান। Shown