(ক) নং এর সমাধান

মনে করি,

সংখ্যাটি $= x$

সংখ্যাটির গুণাত্মক বিপরীত সংখ্যা $= \frac{1}{x}$

প্রশ্নমতে,

$x + \frac{1}{x} = 3$

সুতরাং, নির্ণেয় সমীকরণটি হলো $x + \frac{1}{x} = 3$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

'ক' হতে পাই,

$x + \frac{1}{x} = 3$

আমরা জানি,

$\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 4 \cdot x \cdot \frac{1}{x}$

$= (3)^2 - 4$

$= 9 - 4$

$= 5$

$\therefore x - \frac{1}{x} = \pm\sqrt{5}$

প্রদত্ত রাশি $= x^3 - \frac{1}{x^3}$

$= \left(x - \frac{1}{x}\right)^3 + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \left(x - \frac{1}{x}\right)$

$= \left(x - \frac{1}{x}\right)^3 + 3\left(x - \frac{1}{x}\right)$

যখন $x - \frac{1}{x} = \sqrt{5}$ হয়, তখন রাশিটির মান:

$= (\sqrt{5})^3 + 3(\sqrt{5})$

$= 5\sqrt{5} + 3\sqrt{5}$

$= 8\sqrt{5}$

আবার, যখন $x - \frac{1}{x} = -\sqrt{5}$ হয়, তখন রাশিটির মান:

$= (-\sqrt{5})^3 + 3(-\sqrt{5})$

$= -5\sqrt{5} - 3\sqrt{5}$

$= -8\sqrt{5}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\pm 8\sqrt{5}$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

'ক' হতে পাই,

$x + \frac{1}{x} = 3$

এখন,

$x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x}$

$= (3)^2 - 2$

$= 9 - 2$

$= 7$

এবং,

$x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 - 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \left(x + \frac{1}{x}\right)$

$= (3)^3 - 3(3)$

$= 27 - 9$

$= 18$

আমরা জানি,

$\left(x^3 + \frac{1}{x^3}\right)\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) = 18 \times 7$

বা, $x^5 + x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^5} = 126$

বা, $\left(x^5 + \frac{1}{x^5}\right) + \left(x + \frac{1}{x}\right) = 126$

মান বসিয়ে পাই,

বা, $\left(x^5 + \frac{1}{x^5}\right) + 3 = 126$

বা, $x^5 + \frac{1}{x^5} = 126 - 3$

$\therefore x^5 + \frac{1}{x^5} = 123$

সুতরাং, $x^5+\frac{1}{x^5}=123$ Proved