ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৫

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\sin A = \frac{1}{\sqrt{2}}$

আমরা জানি, $\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$

বা, $\sin A = \sin 45^\circ$

$\therefore A = 45^\circ$

বামপক্ষ (L.H.S):

$= \cos 2A$

$= \cos (2 \times 45^\circ)$

$= \cos 90^\circ$

$= 0$

ডানপক্ষ (R.H.S):

$= \frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A}$

$= \frac{1 - \tan^2 45^\circ}{1 + \tan^2 45^\circ}$

যেহেতু $\tan 45^\circ = 1$, তাই মান বসিয়ে পাই,

$= \frac{1 - (1)^2}{1 + (1)^2}$

$= \frac{1 - 1}{1 + 1}$

$= \frac{0}{2}$

$= 0$

$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ

অর্থাৎ, $\cos 2 A = \frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A}$ Proved

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$x=\tan \theta$, $y=\cot \theta$, $a=\sin \theta$ এবং $b=\cos \theta$

বামপক্ষ (L.H.S):

$= x(1-y)^{-1} + y(1-x)^{-1}$

$= \frac{x}{1-y} + \frac{y}{1-x}$

মান বসিয়ে পাই,

$= \frac{\tan \theta}{1 - \cot \theta} + \frac{\cot \theta}{1 - \tan \theta}$

আমরা জানি, $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$

$= \frac{\tan \theta}{1 - \frac{1}{\tan \theta}} + \frac{\frac{1}{\tan \theta}}{1 - \tan \theta}$

$= \frac{\tan \theta}{\frac{\tan \theta - 1}{\tan \theta}} + \frac{1}{\tan \theta(1 - \tan \theta)}$

$= \frac{\tan^2 \theta}{\tan \theta - 1} - \frac{1}{\tan \theta(\tan \theta - 1)}$    [২য় ভগ্নাংশের হরে মাইনাস কমন নিয়ে]

ল.সা.গু. করে পাই,

$= \frac{\tan^3 \theta - 1}{\tan \theta(\tan \theta - 1)}$

$a^3 - b^3$ এর সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

$= \frac{(\tan \theta - 1)(\tan^2 \theta + \tan \theta + 1)}{\tan \theta(\tan \theta - 1)}$

$= \frac{\tan^2 \theta + \tan \theta + 1}{\tan \theta}$

ভগ্নাংশটি আলাদা করে লিখলে,

$= \frac{\tan^2 \theta}{\tan \theta} + \frac{\tan \theta}{\tan \theta} + \frac{1}{\tan \theta}$

$= \tan \theta + 1 + \cot \theta$

এখন $\sin$ ও $\cos$-এ অনুপাতে ভাঙি,

$= \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} + 1$

$= \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} + 1$

যেহেতু $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,

$= \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} + 1$

উদ্দীপকের মান অনুসারে $a = \sin \theta$ এবং $b = \cos \theta$ বসিয়ে পাই,

$= \frac{1}{ab} + 1$

$= (ab)^{-1} + 1$

ডানপক্ষ (R.H.S):

$= (ab)^{-1} + 1$

$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ

অর্থাৎ, $x(1-y)^{-1} + y(1-x)^{-1} = (ab)^{-1}+1$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$z = \frac{1 - \sin \theta}{\cos \theta}$

প্রশ্নমতে, $z = \frac{1}{c}$

$\therefore \frac{1 - \sin \theta}{\cos \theta} = \frac{1}{c}$

বা, $c = \frac{\cos \theta}{1 - \sin \theta}$    [ব্যস্তকরণ করে]

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

$c^2 = \frac{\cos^2 \theta}{(1 - \sin \theta)^2}$

বা, $c^2 = \frac{1 - \sin^2 \theta}{(1 - \sin \theta)^2}$    [যেহেতু $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$]

বা, $c^2 = \frac{(1 - \sin \theta)(1 + \sin \theta)}{(1 - \sin \theta)(1 - \sin \theta)}$

বা, $c^2 = \frac{1 + \sin \theta}{1 - \sin \theta}$

এখন, ডানপক্ষের রাশিটির মান নির্ণয় করি,

ডানপক্ষ (R.H.S):

$= \frac{2c}{c^2 - 1}$

$c$ এবং $c^2$ এর মান বসিয়ে পাই,

$= \dfrac{2 \left(\frac{\cos \theta}{1 - \sin \theta}\right)}{\frac{1 + \sin \theta}{1 - \sin \theta} - 1}$

হরের অংশে ল.সা.গু. করে পাই,

$= \dfrac{\frac{2 \cos \theta}{1 - \sin \theta}}{\frac{1 + \sin \theta - (1 - \sin \theta)}{1 - \sin \theta}}$

$= \dfrac{\frac{2 \cos \theta}{1 - \sin \theta}}{\frac{1 + \sin \theta - 1 + \sin \theta}{1 - \sin \theta}}$

$= \dfrac{\frac{2 \cos \theta}{1 - \sin \theta}}{\frac{2 \sin \theta}{1 - \sin \theta}}$

ভগ্নাংশটিকে সরল করে পাই,

$= \frac{2 \cos \theta}{1 - \sin \theta} \times \frac{1 - \sin \theta}{2 \sin \theta}$

$= \frac{2 \cos \theta}{2 \sin \theta}$

$= \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$

$= \cot \theta$

বামপক্ষ (L.H.S):

$= \cot \theta$

$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ

অর্থাৎ, $\cot \theta = \frac{2c}{c^2-1}$ Proved