বীজগাণিতিক রাশি
(Algebraic Expression)
বর্গ সম্পর্কিত
সূত্রাবলি:
- $(a+b)^2$$=a^2+2ab+b^2$
- $(a-b)^2$$=a^2-2ab+b^2$
- $a^2-b^2$$=(a+b)(a-b)$
- $(x+a)(x+b)$$=x^2+(a+b)x+ab$
- $(x+a)(x-b)$$=x^2+(a-b)x-ab$
- $(x-a)(x-b)$$=x^2-(a+b)x+ab$
অনুসিদ্ধান্ত:
- $(a+b)^2$$=(a-b)^2+4ab$$=(a+b)(a+b)$
- $(a-b)^2$$=(a+b)^2-4ab$$=\{a+(-b)\}\{a+(-b)\}$
- $a^2+b^2$$=(a+b)^2-2ab$$=(a-b)^2+2ab$$=\frac12\left\lbrace\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2\right\rbrace$
- $ab$$=\left(\frac{a+b}{2}\right)^2-\left(\frac{a-b}{2}\right)^2$
- $4ab$$=\left(a+b\right)^2-\left(a-b\right)^2$
- $2\left(ab+bc+ca\right)$$=\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)$
or, $\left(a+b+c\right)^2$$=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)$
or, $a^2+b^2+c^2$$=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)$ - $\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2$$=2\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\right)$
- $\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)+abc$$=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)$
- $\left(a-b-c\right)^2$$=a^2+b^2+c^2-2ab+2bc-2ca$
ঘন সম্পর্কিত
সূত্রাবলি:
- $\left(a+b\right)^3$$=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
- $\left(a-b\right)^3$$=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
- $a^3+b^3$$=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)$
- $a^3-b^3$$=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)$
- $\left(p+x\right)\left(q+x\right)\left(r+x\right)$$=pqr+\left(pq+qr+rp\right)x+\left(p+q+r\right)x^2+x^3$
- $a^3+b^3+c^3-3abc$$=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)$$=\frac12\left(a+b+c\right)\left\lbrace\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right\rbrace$
- $\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3$$=3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)$
- $\left(a+b+c\right)^3$$=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)$
অনুসিদ্ধান্ত:
- $\left(a+b\right)^3$$=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)$
- $\left(a-b\right)^3$$=a^3-b^3-3ab\left(a-b\right)$
- $a^3+b^3$$=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)$
- $a^3-b^3$$=\left(a-b\right)^3+3ab\left(a-b\right)$
সূচক
(Exponents/Indices)
সূচক শব্দের অর্থ হলো শক্তি $n$ সংখ্যক $a$ এর ক্রমিক গুণফল।
$a^n$ -এখানে
$n$ কে $a$ (ভিত্তিক) এর সূচক বা শক্তি বলা হয়।
সূচকের সূত্রাবলি:
যখন, $a \in R$; $m,n \in N$
- $a^n=a \times a \times a \times \cdots \cdots \cdots$ ($n$ সংখ্যক $a$) এখানে $n$ হলো সূচক বা ঘাত এবং $a$ হলো ভিত্তি
- $\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}$
- $a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$
- $a^{m}\div a^{n}=\frac{a^{m}}{a^{n}}=\begin{cases}a^{m-n} & \text{when }m\ge n\\[2 ex] \frac{1}{a^{n-m}} & \text{when }n>m\end{cases}$
- $a^0=1$
- $\sqrt{a}=a^{\frac12}$ ; $\sqrt[q]{a}=a^{\frac{1}{q}}$ ; $\sqrt[3]{a}=a^{\frac13}$ ; $\sqrt[3]{a^2}=a^{\frac23}$
- $a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$ ; $a^{-2}=\frac{1}{a^2}$
- $\left(ab\right)^{m}=a^{m}b^{m}$
- $\left(\frac{a}{b}\right)^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}$
- $\left(\frac{m}{n}\right)^{-p}=\left(\frac{n}{m}\right)^{p}$
- $\text{When }a^{x}=a^{y} \text{ then, }x=y$
- $\text{When }a^{x}=b^{x} \text{ then, }a=b$
লগারিদম
(Logarithms)
Logos এবং Arithmas নামক দুই গ্রীক শব্দ হতে লগারিদম শব্দটির উৎপত্তি। Logos অর্থ আলোচনা এবং $Arithmas$ অর্থ সংখ্যা। অর্থাৎ Logarithms অর্থ বিশেষ সংখ্যা নিয়ে আলোচনা।
$\log_{a}n$ কে “$a$ ভিত্তিক লগ $n$” পড়া হয়।
লগারিদম পদ্ধতি দুই প্রকার:
- সাধারণ লগারিদম ($10$ ভিত্তিক) (Common Logarithm)
- স্বাভাবিক লগারিদম ($e$ ভিত্তিক) (Natural Logarithm)
সূত্রাবলি:
যদি $a>0, a\neq1, b>0, b\neq1$ এবং $M>0, N>0$
- $\log_{a}\left(MN\right)=\log_{a}M+\log_{a}N$
- $\log_{a}\left(\frac{M}{N}\right)=\log_{a}M-\log_{a}N$
- $\log_{a}M^{n}=n\log_{a}M$
- $\log_{a}1=0$
- $\log_{a}a=1$
- $\log_{a}a^2=2$
- $\log_{}a+\log_{}b+\log_{}c=\log_{}(abc)$
- $\text{When} \log_{a}y=x;\text{ then; }a^x=y$
- $\log_{a}M=\log_{b}M\div\log_{b}a=\frac{\log_{b}M}{\log_{b}a}$
- $\log_{a}\sqrt[N]{M}=\frac{1}{N}\log_{a}M$
- যদি $a^x=n$ হয়, তবে $x=\log_{a}n$
- $\log_{a}b \times \log_{b}a=1$
- $\log_{a}b \times \log_{b}c \times \log_{c}a=1$
- $a\log_{x}b=b\log_{x}a$
- $x^y=e^{y\log_{e}x}$
অনুসিদ্ধান্ত:
- $\log_{a}b=\frac{1}{\log_{b}a}$
বীজগাণিতিক অনুপাত ও সমানুপাত
(Algebraic Ratio & Proportion)
অনুপাত (Ratio)
একই এককের সমজাতীয় দুইটি রাশির পরিমাণ একটি ভগ্নাংশ দ্বারা প্রকাশ করা যায়। এই ভগ্নাংশটিকে রাশি দুটির অনুপাত বলে। দুইটি রাশি $a$ ও $b$ এর অনুপাতকে $a:b$ বা $\frac{a}{b}$ লিখা হয়।
সমানুপাত (Proportion)
যদি চারটি রাশি এরূপ হয় যে, প্রথম ও দ্বিতীয় রাশির অনুপাত তৃতীয় ও চতুর্থ রাশির অনুপাতের সমান হয়, তবে ঐ চারটি রাশি নিয়ে একটি সমানুপাত উৎপন্ন হয়।
$a,b,c,d$ এরূপ চারটি রাশি হলে, আমরা লিখি $a:b=c:d$ বা, $a:b::c:d$
সূত্রাবলি:
- $a:b=c:d$ অর্থাৎ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ হলে $\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$ [ব্যস্তকরণ/Invertendo]
- $a:b=c:d$ অর্থাৎ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ হলে $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$ [একান্তরকরণ/Alternendo]
- $a:b=c:d$ অর্থাৎ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ হলে $\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$ [যোজন/Componendo]
- $a:b=c:d$ অর্থাৎ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ হলে $\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$ [বিয়োজন/Dividendo]
- $a:b=c:d$ অর্থাৎ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ হলে $\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$ [যোজন-বিয়োজন/Componendo-Dividendo]
- $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{g}{h}$ হলে, প্রত্যেকটি অনুপাত $\frac{a+c+e+g}{b+d+f+h}$
ধারা (Series)
অনুক্রমের পদ বা পদগুলোর সমষ্টিগুলো হলো ধারা।
সমান্তর ধারা
(Arithmetical Progression)
সমান্তর ধারার সূত্রাবলি:
সমান্তর ধারা : $a+(a+b)+(a+2d)+ \cdots \cdots \cdots$
- প্রথম পদ $a$, সাধারণ অন্তর $d$ হলে, $r$ তম পদ $=a+(r-1)d$
- প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি, $S_n=\frac{n}{2}\left\{2a+(n-1)d\right\}$
- কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ ও শেষ পদ দেয়া থাকলে,
- সমষ্টি = পদসংখ্যা (প্রথম পদ + শেষ পদ)২
- পদ সংখ্যা = শেষ পদ – প্রথম পদসাধারণ অন্তর + ১
- ধারার গড় = শেষ পদ + প্রথম পদ২
সূত্রাবলি:
-
- $1+2+3+\cdots \cdots \cdots +n=\frac{n(n-1)}{2}$
- $1^2+2^2+3^2+\cdots \cdots \cdots +n^2=$$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
- $1^3+2^3+3^3+\cdots \cdots \cdots +n^3=$$\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2$$=\left(1+2+3+\cdots \cdots \cdots +n\right)^2$
- $1+3+5+\cdots \cdots \cdots +n$তম পদ$=$(পদসংখ্যা)২=$n^2$
- $1(2^\circ)+2^1+2^2+\cdots \cdots \cdots +n^{n-1}=2^n-1$
- $2+4+6+\cdots \cdots \cdots +n=n(n+1)$
গুণোত্তর ধারা (Geometrical Progression)
সূত্রাবলি:
$S=a+ar+ar^2+\cdots \cdots \cdots +ar^{n-1}$
যেখানে, $a=$প্রথম পদ, $r=$সাধারণ অনুপাত বা দ্বিতীয় পদপ্রথম পদ
- $n$ তম পদ $=ar^{n-1}$
- গুণোত্তর ধারাপ প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি, $\displaylines{S_n=\begin{cases}\frac{a\cdot\left(r^{n-1}\right)}{r-1} & \text{When }r>1\\[2 ex] a\cdot\frac{1-r^{n}}{1-r} & \text{When }r<1\end{cases}}$
পরিমাপ (Measure)
| ১ একর | = ৪৮৪০ বর্গগজ |
| ১ এয়র | = ১০০ বর্গমিটার |
| ১ হেক্টর | = ১০০ এয়র = ২.৪৭ একর = ১০০০০ বর্গমিটার |
| ১ কুইন্টাল | = ১০০ কেজি |
| ১ মেট্রিক টন | = ১০০০ কেজি = ১০ কুইন্টাল |
| ১ বিঘা | = ১৬০০ বর্গগজ |
| ১ গজ | = ৩ ফুট |
| ১ ইঞ্চি | = ২.৫৪ সে.মি. |
| ১ মিটার | = ৩৯.৩৭ ইঞ্চি |
| ১ মাইল | = ১.৬০৯ কি.মি. |
| ১ কি.মি. | = ০.৬২ মাইল (প্রায়) |
মুনাফা (Profit) / সুদ (Interest)
সরল সুদ/মুনাফা হল প্রতিবছর সমান সুদ প্রদান করতে হয়। কিন্তু চক্রবৃদ্ধির সুদ হল সুদের উপর সুদ।
এখানে,
মুলধন বা আসল (Principal) = $P$
মুনাফার হার (Rate of Interest) = $r$
সময় (Time/Number of Year) =$n$
মুনাফা (Profit/Interest) = $I$
সবৃদ্ধি মূলধন বা মুনাফা-আসল একত্রে (Total Amount / Asset) = $A$
চক্রবৃদ্ধি মূলধন বা মুনাফা-আসল একত্রে (Capital) = $C$
আসল/মূলধন কাকে বলে? – যে পরিমাণ টাকা ধার নেওয়া বা দেওয়া হয়, তাই আসল বা মূলধন।
মুনাফা/সুদ কাকে বলে? – আসলের অতিরিক্ত যে টাকা ঋণদাতাকে দেওয়া হয়, তাই মুনাফা বা সুদ।
সরল মুনাফা
(Simple Interest)
সরল সুদ/মুনাফা: $I=Prn$ or, $P=\frac{I}{rn}$ or, $r=\frac{I}{Pn}$ or, $n=\frac{I}{Pr}$
সবৃদ্ধি মূলধন বা মুনাফা-আসল একত্রে: $A=P+I$
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা
(Compound Interest)
চক্রবৃদ্ধি মূলধন: $C=P(1+r)^n$
চক্রবৃদ্ধি মুনফা: $I=(C-P)$