সৃজনশীল : সূচক : অনুশীলনী ৪.১ – সমস্যা ২২

 ২২  $X=\left(2a^{-1}+3b^{-1}\right)^{-1}$, $Y=\sqrt[pq]{\dfrac{x^{p}}{x^{q}}}\times \sqrt[qr]{\dfrac{x^{q}}{x^{r}}}\times \sqrt[rp]{\dfrac{x^{r}}{x^{p}}}$ এবং $Z=\dfrac{5^{m+1}}{\left(5^{m}\right)^{m-1}}\div\dfrac{25^{m+1}}{\left(5^{m-1}\right)^{m+1}}$, যেখানে $x,p,q,r>0$

• (ক) $X$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) দেখাও যে, $Y+\sqrt[4]{81}=4$
• (গ) দেখাও যে, $Y\div Z=25$

---

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,
$X=\left(2a^{-1}+3b^{-1}\right)^{-1}$

বা, $X=\left(2\frac{1}{a}+3\frac{1}{b}\right)^{-1}$

বা, $X=\left(\frac{2}{a}+\frac{3}{b}\right)^{-1}$

বা, $X=\left(\frac{2b+3a}{ab}\right)^{-1}$

বা, $X=\frac{1}{\left(\frac{2b+3a}{ab}\right)}$

বা, $X=1\times\frac{ab}{2b+3a}$

$\therefore X=\frac{ab}{3a+2b}$ [Answer]

 

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,
$Y=\sqrt[pq]{\dfrac{x^{p}}{x^{q}}}\times \sqrt[qr]{\dfrac{x^{q}}{x^{r}}}\times \sqrt[rp]{\dfrac{x^{r}}{x^{p}}}$

বা, $Y=\sqrt[pq]{x^{p-q}}\times\sqrt[qr]{x^{q-r}}\times\sqrt[rp]{x^{r-p}}$

বা, $Y=x^{\left(p-q\right)\cdot\frac{1}{pq}}\times x^{\left(q-r\right)\cdot\frac{1}{qr}}\times x^{\left(r-p\right)\cdot\frac{1}{rp}}$

বা, $Y=x^{\frac{p-q}{pq}}\times x^{\frac{q-r}{qr}}\times x^{\frac{r-p}{rp}}$

বা, $Y=x^{\frac{p-q}{pq}+\frac{q-r}{qr}+\frac{r-p}{rp}}$

বা, $Y=x^{\frac{r\left(p-q\right)+p\left(q-r\right)+q\left(r-p\right)}{pqr}}$

বা, $Y=x^{\frac{pr-qr+pq-pr+qr-pq}{pqr}}$

বা, $Y=x^{\frac{0}{pqr}}$

বা, $Y=x^0$

$\therefore Y=1$

দেখাতে হবে যে,
$Y+\sqrt[4]{81}=4$

Left Hand Side,
$Y+\sqrt[4]{81}$

$=1+\sqrt[4]{81}$
[ $Y$ এর মান বসিয়ে ]

$=1+\sqrt[4]{3^4}$

$=1+3^{4\cdot\frac14}$

$=1+3^1$

$=1+3$

$=4$

$=$ Right Hand Side [Showed]

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,
$Z=\dfrac{5^{m+1}}{\left(5^{m}\right)^{m-1}}\div\dfrac{25^{m+1}}{\left(5^{m-1}\right)^{m+1}}$

বা, $Z=\dfrac{5^{m+1}}{\left(5^{m}\right)^{m-1}}\div\dfrac{\left(5^2\right)^{m+1}}{\left(5^{m-1}\right)^{m+1}}$

বা, $Z=\dfrac{5^{m+1}}{5^{m\left(m-1\right)}}\div\dfrac{5^{2\left(m+1\right)}}{5^{\left(m-1\right)\left(m+1\right)}}$

বা, $Z=\dfrac{5^{m+1}}{5^{m^2-m}}\div\dfrac{5^{2m+2}}{5^{m^2-1^2}}$

বা, $Z=5^{\left(m+1\right)-\left(m^2-m\right)}\div5^{\left(2m+2\right)-\left(m^2-1\right)}$

বা, $Z=5^{m+1-m^2+m}\div5^{2m+2-m^2+1}$

বা, $Z=5^{2m+1-m^2}\div5^{2m+3-m^2}$

বা, $Z=5^{\left(2m+1-m^2\right)-\left(2m+3-m^2\right)}$

বা, $Z=5^{2m+1-m^2-2m-3+m^2}$

বা, $Z=5^{-2}$

বা, $Z=\frac{1}{5^2}$

$\therefore Z=\frac{1}{25}$

দেখাতে হবে যে,
$Y\div Z=25$

Left Hand Side,
$Y\div Z$

$=1 \div \frac{1}{25}$
[ ‘খ’ নং থেকে $Y$ এর মান এবং $Z$ এর মান বসিয়ে ]

$=1 \times \frac{25}{1}$

$=25$

$=$ Right Hand Side [Showed]