৩৩ কোনো সংখ্যা ও ঐ সংখ্যার গুণাত্মক বিপরীত সংখ্যার সমষ্টি $3$
- (ক) সংখ্যাটিকে $x$ চলকে প্রকাশ করে উপরের তথ্যকে সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ কর।
- (খ) $x^3-\frac{1}{x^3}$ এর মান নির্ণয় কর।
- (গ) প্রমাণ কর যে, $x^5+\frac{1}{x^5}=123$
(ক) নং এর সমাধান
মনে করি, সংখ্যাটি $x$
$\therefore$ $x$-এর গুণাত্মক বিপরীত সংখ্যা $\frac1x$
প্রশ্নমতে, $x+\frac1x=3$
(খ) নং এর সমাধান
‘ক’ হতে পাই, $x+\frac1x=3$
এখন,
$\left(x-\frac1x\right)^2=\left(x+\frac1x\right)^2-4 \cdot x \cdot \frac1x$
বা, $\left(x-\frac1x\right)^2=(3)^2-4$
[মান বসিয়ে]
বা, $\left(x-\frac1x\right)^2=9-4$
বা, $\left(x-\frac1x\right)^2=5$
বা, $\sqrt{\left(x-\frac1x\right)^2}=\sqrt5$
$\therefore \left(x-\frac1x\right)=\sqrt5$
আবার,
$x^3-\frac{1}{x^3}$
$=\left(x-\frac1x\right)^3+3 \cdot x \cdot \frac1x \left(x-\frac1x\right)$
$=\left(\sqrt5\right)^3+3\cdot \sqrt5$
$=5\sqrt5+3\sqrt5$
$=8\sqrt5$ [Answer]
(গ) নং এর সমাধান
‘ক’ ও ‘খ’ হতে পাই, $x+\frac1x=3$ এবং $x-\frac1x=\sqrt5$
এখন,
$x^3+\frac{1}{x^3}$
$=\left(x+\frac1x\right)^3-3 \cdot x \cdot \frac1x \left(x+\frac1x\right)$
$=(3)^3-3 \cdot 3$
$=27-9$
$=18$ —–($i$)
$\therefore x^3+\frac{1}{x^3}=18$
এবং,
$x^2+\frac{1}{x^2}$
$=\left(x-\frac1x\right)^2+2 \cdot x \cdot \frac1x$
$=\left(\sqrt5\right)^2+2$
$=5+2$
$=7$
$\therefore x^2+\frac{1}{x^2}=7$ —–($ii$)
($i$) নং ও ($ii$) নং সমীকরণ গুণ করে,
$\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)=18\times7$
বা, $x^3\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+\frac{1}{x^3}\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)=126$
বা, $x^5+x+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^5}=126$
বা, $x^5+\frac{1}{x^5}+x+\frac{1}{x}=126$
বা, $x^5+\frac{1}{x^5}+3=126$
বা, $x^5+\frac{1}{x^5}=126-3$
$\therefore x^5+\frac{1}{x^5}=123$ [Proved]