দেওয়া আছে,
$A=\{3,4,5,6\}$

$A$ সেটের উপাদান সংখ্যা, $n=4$

$P(A)$$ = \{\emptyset, $$\{3\}, $$\{4\}, $$\{5\}, $$\{6\}, $$\{3,4\}, $$\{3,5\}, $$\{3,6\}, $$\{4,5\}, $$\{4,6\}, $$\{5,6\}, $$\{3,4,5\}, $$\{3,4,6\}, $$\{3,5,6\}, $$\{4,5,6\}, $$\{3,4,5,6\}\}$

এখানে, $P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা $= 16$

আমরা জানি, $16 = 2^4 = 2^n$

সুতরাং, $A$ সেটের উপাদান সংখ্যা $n$ হলে $P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা $2^n$ কে সমর্থন করে। (দেখানো হলো)

$A$ সেটের জন্য:
$x^2-5x+6=0$
বা, $x^2-2x-3x+6=0$
বা, $(x-2)(x-3)=0$
হয়, $x=2$ অথবা $x=3$
বা, $x=2,3$
$\therefore A=\{2,3\}$

$B$ সেটের জন্য: ২ এর বড় এবং ৬ এর ছোট স্বাভাবিক সংখ্যা। $\therefore B=\{3,4,5\}$
$A \setminus B $$= \{2,3\} \setminus \{3,4,5\} $$= \{2\}$
$B \setminus A $$= \{3,4,5\} \setminus \{2,3\} $$= \{4,5\}$

বামপক্ষ:
$(A \setminus B)\cup (B \setminus A) $
$= \{2\} \cup \{4,5\} $
$= \{2,4,5\}$

এখন,
$A \cup B$
$= \{2,3\} \cup \{3,4,5\} $
$= \{2,3,4,5\}$

$A \cap B$
$= \{2,3\} \cap \{3,4,5\} $
$= \{3\}$

ডানপক্ষ:
$(A \cup B) \setminus (A \cap B) $
$= \{2,3,4,5\} \setminus \{3\} $
$= \{2,4,5\}$
বামপক্ষ $=$ ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

$10$ এর ছোট মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো $2$, $3$, $5$, $7$
$\therefore A = \{2,3,5,7\}$

দেওয়া আছে,
$B = \{4,5\}$

$C$ এর জন্য:
$x=3$ হলে $3^2=9>7$ এবং $3^3=27 < 136$;
$x=4$ হলে $4^2=16>7$ এবং $64 < 136$;
$x=5$ হলে $5^2=25>7$ এবং $125 < 136$;
$x=6$ হলে $6^3=216 \not < 136$।
$\therefore C = \{3,4,5\}$

এখন,
$A \cap C $$= \{2,3,5,7\} \cap \{3,4,5\} $$= \{3,5\}$
$B \cap C $$= \{4,5\} \cap \{3,4,5\} $$= \{4,5\}$

বামপক্ষ:
$(A\cap C)\cup(B\cap C) $
$= \{3,5\} \cup \{4,5\} $
$= \{3,4,5\}$

আবার,
$A \cup B = \{2,3,5,7\} \cup \{4,5\} $
$= \{2,3,4,5,7\}$

ডানপক্ষ:
$(A\cup B)\cap C $
$= \{2,3,4,5,7\} \cap \{3,4,5\} $
$= \{3,4,5\}$

বামপক্ষ $=$ ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

$U$ সেটের জন্য:
$x^2 < 55$
$1^2=1 < 55$
$2^2=4 < 55$
$3^2=9 < 55$
$4^2=16 < 55$
$5^2=25 < 55$
$6^2=36 < 55$
$7^2=49 < 55$
কিন্তু, $8^2=64 \not < 55$
$\therefore U=\{1,2,3,4,5,6,7\}$

$A$ সেটের জন্য:
$10$ এর ছোট মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো $2,3,5,7$
$\therefore A=\{2,3,5,7\}$

দেওয়া আছে,
$B=\{4,5\}$

$A'$ নির্ণয় করি:
$A'=U\setminus A$
$=\{1,2,3,4,5,6,7\}\setminus\{2,3,5,7\}$
$=\{1,4,6\}$

$B'$ নির্ণয় করি:
$B'=U\setminus B$
$=\{1,2,3,4,5,6,7\}\setminus\{4,5\}$
$=\{1,2,3,6,7\}$

এখন,
$B'-A'$
$=\{1,2,3,6,7\}\setminus\{1,4,6\}$
$=\{2,3,7\}$

$\therefore P(B'-A')$
$=P(\{2,3,7\})$
$=\{\emptyset,\{2\},\{3\},\{7\},\{2,3\},\{2,7\},\{3,7\},\{2,3,7\}\}$

দেওয়া আছে,
$A=\{1,2,3\}$

$B$ সেটের জন্য:
$x=4$ হলে, $4^2=16>15$ এবং $4^3=64 < 200$
$x=5$ হলে, $5^2=25>15$ এবং $5^3=125 < 200$
$x=6$ হলে, $6^3=216 \not < 200$
$\therefore B=\{4,5\}$

দেওয়া আছে,
$C=\{3,5,6\}$

$B\cup C$ নির্ণয় করি:
$B\cup C$
$=\{4,5\}\cup\{3,5,6\}$
$=\{3,4,5,6\}$

বামপক্ষ:
$A\setminus(B\cup C)$
$=\{1,2,3\}\setminus\{3,4,5,6\}$
$=\{1,2\}$

এখন,
$A\setminus B$
$=\{1,2,3\}\setminus\{4,5\}$
$=\{1,2,3\}$

$A\setminus C$
$=\{1,2,3\}\setminus\{3,5,6\}$
$=\{1,2\}$

ডানপক্ষ:
$(A\setminus B)\cap(A\setminus C)$
$=\{1,2,3\}\cap\{1,2\}$
$=\{1,2\}$

বামপক্ষ $=$ ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

$B$ সেটের জন্য:
$8$ এর ছোট জোড় সংখ্যাগুলো হলো $2,4,6$
$\therefore B=\{2,4,6\}$

$C$ সেটের জন্য:
$6$ এর গুণনীয়কগুলো হলো $1,2,3,6$
$\therefore C=\{1,2,3,6\}$

$D=B-C$
$=\{2,4,6\}\setminus\{1,2,3,6\}$
$=\{4\}$

$B\cup C$
$=\{2,4,6\}\cup\{1,2,3,6\}$
$=\{1,2,3,4,6\}$

এখন,
$(B\cup C)\times D$
$=\{1,2,3,4,6\}\times\{4\}$

সুতরাং সজ্জিত জোড়াগুলো হবে:
$(1,4), (2,4), (3,4), (4,4), (6,4)$

$\therefore (B\cup C)\times D$
$=\{(1,4),(2,4),(3,4),(4,4),(6,4)\}$

$A$ সেটের জন্য:
$6$ এর ছোট বিজোড় সংখ্যাগুলো হলো $1,3,5$
$\therefore A=\{1,3,5\}$

$B$ সেটের জন্য:
$21$ এর গুণনীয়কগুলো হলো $1,3,7,21$
$\therefore B=\{1,3,7,21\}$

$C$ সেটের জন্য:
$35$ এর ছোট $7$ এর গুণিতকগুলো হলো $7,14,21,28$
$\therefore C=\{7,14,21,28\}$

$B\cap C$
$=\{1,3,7,21\}\cap\{7,14,21,28\}$
$=\{7,21\}$

বামপক্ষ:
$A\times(B\cap C)$
$=\{1,3,5\}\times\{7,21\}$
$=\{(1,7),(1,21),(3,7),(3,21),(5,7),(5,21)\}$

এখন,
$A\times B$
$=\{(1,1),(1,3),(1,7),(1,21),(3,1),(3,3),(3,7),(3,21),(5,1),(5,3),(5,7),(5,21)\}$

$A\times C$
$=\{(1,7),(1,14),(1,21),(1,28),(3,7),(3,14),(3,21),(3,28),(5,7),(5,14),(5,21),(5,28)\}$

ডানপক্ষ:
$(A\times B)\cap(A\times C)$
$=\{(1,7),(1,21),(3,7),(3,21),(5,7),(5,21)\}$

বামপক্ষ $=$ ডানপক্ষ (দেখানো হলো)

$A$ সেটের জন্য:
$x=4$ হলে, $4^2=16>15$ এবং $4^3=64 < 225$
$x=5$ হলে, $5^2=25>15$ এবং $5^3=125 < 225$
$x=6$ হলে, $6^2=36>15$ এবং $6^3=216 < 225$
$x=7$ হলে, $7^3=343 \not < 225$
$\therefore A=\{4,5,6\}$

$B$ সেটের জন্য:
$4\le x\le7$
$\therefore B=\{4,5,6,7\}$

$A\cap B$
$=\{4,5,6\}\cap\{4,5,6,7\}$
$=\{4,5,6\}$

বামপক্ষ:
$(A\cap B)'$
$=U\setminus(A\cap B)$
$=\{1,2,3,4,5,6,7\}\setminus\{4,5,6\}$
$=\{1,2,3,7\}$

$A'$
$=U\setminus A$
$=\{1,2,3,4,5,6,7\}\setminus\{4,5,6\}$
$=\{1,2,3,7\}$

$B'$
$=U\setminus B$
$=\{1,2,3,4,5,6,7\}\setminus\{4,5,6,7\}$
$=\{1,2,3\}$

ডানপক্ষ:
$A'\cup B'$
$=\{1,2,3,7\}\cup\{1,2,3\}$
$=\{1,2,3,7\}$

বামপক্ষ $=$ ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

$B$ সেটের জন্য:
$x=4$ হলে, $4^2=16>15$ এবং $4^3=64 < 225$
$x=5$ হলে, $5^2=25>15$ এবং $5^3=125 < 225$
$x=6$ হলে, $6^2=36>15$ এবং $6^3=216 < 225$
$x=7$ হলে, $7^3=343 \not < 225$
$\therefore B=\{4,5,6\}$

$C$ সেটের জন্য:
$4 < x\le7$
$\therefore C=\{5,6,7\}$

$B\cup C$
$=\{4,5,6\}\cup\{5,6,7\}$
$=\{4,5,6,7\}$

বামপক্ষ:
$(B\cup C)'$
$=U\setminus(B\cup C)$
$=\{1,2,3,4,5,6,7\}\setminus\{4,5,6,7\}$
$=\{1,2,3\}$

$B'$
$=U\setminus B$
$=\{1,2,3,4,5,6,7\}\setminus\{4,5,6\}$
$=\{1,2,3,7\}$

$C'$
$=U\setminus C$
$=\{1,2,3,4,5,6,7\}\setminus\{5,6,7\}$
$=\{1,2,3,4\}$

ডানপক্ষ:
$B'\cap C'$
$=\{1,2,3,7\}\cap\{1,2,3,4\}$
$=\{1,2,3\}$

বামপক্ষ $=$ ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$A=\{3,4,5,6\}$

সম্পর্ক $R$ এর শর্ত:
$x-y=-1$
বা,
$y=x+1$

এখন $A$ এর প্রতিটি $x$ এর জন্য $y$ এর মান নির্ণয় করি:

$x=3$ হলে,
$y=3+1=4$
$4\in A$
$\therefore (3,4)\in R$

$x=4$ হলে,
$y=4+1=5$
$5\in A$
$\therefore (4,5)\in R$

$x=5$ হলে,
$y=5+1=6$
$6\in A$
$\therefore (5,6)\in R$

$x=6$ হলে,
$y=6+1=7$
কিন্তু, $7\notin A$
সুতরাং $(6,7)\notin R$

অতএব,
$R=\{(3,4),(4,5),(5,6)\}$

ডোম $R$:
সজ্জিত জোড়াগুলোর প্রথম উপাদানগুলো হলো $3,4,5$
$\therefore \text{Dom }R=\{3,4,5\}$

রেঞ্জ $R$:
সজ্জিত জোড়াগুলোর দ্বিতীয় উপাদানগুলো হলো $4,5,6$
$\therefore \text{Range }R=\{4,5,6\}$

দেওয়া আছে,
$B=\{2,3,4\}$

সম্পর্ক $S$ এর শর্ত:
$y=x-1$

এখন $B$ এর প্রতিটি $x$ এর জন্য $y$ এর মান নির্ণয় করি:

$x=2$ হলে,
$y=2-1=1$
কিন্তু, $1 \notin B$
সুতরাং $(2,1)\notin S$

$x=3$ হলে,
$y=3-1=2$
$2\in B$
$\therefore (3,2)\in S$

$x=4$ হলে,
$y=4-1=3$
$3\in B$
$\therefore (4,3)\in S$

অতএব,
$\therefore S=\{(3,2),(4,3)\}$

দেওয়া আছে,
$A=\{1,2,3\}$

সম্পর্ক $R$ এর শর্ত:
$y=x+1$

এখন $A$ এর প্রতিটি $x$ এর জন্য $y$ এর মান নির্ণয় করি:

$x=1$ হলে,
$y=1+1=2$
$2\in A$
$\therefore (1,2)\in R$

$x=2$ হলে,
$y=2+1=3$
$3\in A$
$\therefore (2,3)\in R$

$x=3$ হলে,
$y=3+1=4$
কিন্তু, $4\notin A$
সুতরাং $(3,4)\notin R$

অতএব,
$R=\{(1,2),(2,3)\}$

ডোম $R$:
সজ্জিত জোড়াগুলোর প্রথম উপাদানগুলো হলো $1,2$
$\therefore \text{Dom }R=\{1,2\}$

রেঞ্জ $R$:
সজ্জিত জোড়াগুলোর দ্বিতীয় উপাদানগুলো হলো $2,3$
$\therefore \text{Range }R=\{2,3\}$

$A$ সেটের জন্য:
$1\le x^2\le 9$

$x^2=1$ হলে, $x=\pm1$
$x^2=4$ হলে, $x=\pm2$
$x^2=9$ হলে, $x=\pm3$

$\therefore A=\{-3,-2,-1,1,2,3\}$

সম্পর্ক $R$ এর শর্ত:
$y-2x-1=0$
বা,
$y=2x+1$

এখন $A$ এর প্রতিটি $x$ এর জন্য $y$ এর মান নির্ণয় করি:

$x=-3$ হলে,
$y=2(-3)+1=-5$
কিন্তু, $-5\notin A$

$x=-2$ হলে,
$y=2(-2)+1=-3$
$-3\in A$
$\therefore (-2,-3)\in R$

$x=-1$ হলে,
$y=2(-1)+1=-1$
$-1\in A$
$\therefore (-1,-1)\in R$

$x=1$ হলে,
$y=2(1)+1=3$
$3\in A$
$\therefore (1,3)\in R$

$x=2$ হলে,
$y=2(2)+1=5$
কিন্তু, $5\notin A$

$x=3$ হলে,
$y=2(3)+1=7$
কিন্তু, $7\notin A$

অতএব,
$R=\{(-2,-3),(-1,-1),(1,3)\}$

ডোম $R$:
$\text{Dom }R=\{-2,-1,1\}$

রেঞ্জ $R$:
$\text{Range }R=\{-3,-1,3\}$

দেওয়া আছে,
$A=\{3,4,5,6\}$

সম্পর্ক $R$ এর শর্ত:
$x-y+1=0$
বা,
$y=x+1$

এখন $A$ এর প্রতিটি $x$ এর জন্য $y$ এর মান নির্ণয় করি:

$x=3$ হলে,
$y=3+1=4$
$4\in A$
$\therefore (3,4)\in R$

$x=4$ হলে,
$y=4+1=5$
$5\in A$
$\therefore (4,5)\in R$

$x=5$ হলে,
$y=5+1=6$
$6\in A$
$\therefore (5,6)\in R$

$x=6$ হলে,
$y=6+1=7$
কিন্তু, $7\notin A$

অতএব,
$R=\{(3,4),(4,5),(5,6)\}$

ডোম $R$:
$\text{Dom }R=\{3,4,5\}$

রেঞ্জ $R$:
$\text{Range }R=\{4,5,6\}$

দেওয়া আছে,
$A=\{-2,-1,0,1,2\}$

সম্পর্ক $S$ এর শর্ত:
$y-2x=0$
বা,
$y=2x$

এখন $A$ এর প্রতিটি $x$ এর জন্য $y$ এর মান নির্ণয় করি:

$x=-2$ হলে,
$y=2(-2)=-4$
কিন্তু, $-4\notin A$

$x=-1$ হলে,
$y=2(-1)=-2$
$-2\in A$
$\therefore (-1,-2)\in S$

$x=0$ হলে,
$y=2(0)=0$
$0\in A$
$\therefore (0,0)\in S$

$x=1$ হলে,
$y=2(1)=2$
$2\in A$
$\therefore (1,2)\in S$

$x=2$ হলে,
$y=2(2)=4$
কিন্তু, $4\notin A$

অতএব,
$S=\{(-1,-2),(0,0),(1,2)\}$

ডোম $S$:
$\text{Dom }S=\{-1,0,1\}$

রেঞ্জ $S$:
$\text{Range }S=\{-2,0,2\}$

$A$ সেটের জন্য:
$9$ এর ছোট বিজোড় সংখ্যাগুলো হলো $1,3,5,7$
$\therefore A=\{1,3,5,7\}$

দেওয়া আছে,
$B=\{4,5,6\}$

সম্পর্ক $R$ এর শর্ত:
$y=x+y$

উভয় পক্ষ থেকে $y$ বিয়োগ করলে পাই,
$x=0$

কিন্তু,
$0\notin A$

সুতরাং $A$ এর কোনো উপাদানের জন্য শর্তটি পূরণ হয় না।

অতএব,
$R=\emptyset$

ডোম $R$:
$\text{Dom }R=\emptyset$

রেঞ্জ $R$:
$\text{Range }R=\emptyset$

দেওয়া আছে,
$y-3x=0$
বা,
$y=3x$

$-2\le x\le2$ ব্যবধিতে কয়েকটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি:

$x=-2$ হলে,
$y=3(-2)=-6$
$\therefore (-2,-6)$

$x=-1$ হলে,
$y=3(-1)=-3$
$\therefore (-1,-3)$

$x=0$ হলে,
$y=0$
$\therefore (0,0)$

$x=1$ হলে,
$y=3$
$\therefore (1,3)$

$x=2$ হলে,
$y=6$
$\therefore (2,6)$

প্রাপ্ত বিন্দুগুলো হলো:
$(-2,-6),(-1,-3),(0,0),(1,3),(2,6)$

বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করে সরলরেখা টানলে একটি মূলবিন্দুগামী সরলরেখা পাওয়া যাবে।

Vertical Line Test অনুযায়ী,
$x$ এর প্রতিটি মানের জন্য $y$ এর কেবল একটি মান পাওয়া যায়।

সুতরাং, এটি একটি ফাংশন।

দেওয়া আছে,
$f(x)=a^2x^2+2ax-3$

$x=-2$ বসিয়ে পাই,
$f(-2)=a^2(-2)^2+2a(-2)-3$
$=4a^2-4a-3$

প্রশ্নমতে,
$f(-2)=0$

$\therefore 4a^2-4a-3=0$

বা,
$4a^2-6a+2a-3=0$

বা,
$2a(2a-3)+1(2a-3)=0$

বা,
$(2a-3)(2a+1)=0$

হয়,
$2a-3=0$
$\therefore a=\frac{3}{2}$

অথবা,
$2a+1=0$
$\therefore a=-\frac{1}{2}$

অতএব,
$\therefore a=\frac{3}{2},-\frac{1}{2}$

দেওয়া আছে,
$f(x)=x^4+3x^3+px^2-3x-4+p$

$x=-2$ বসিয়ে পাই,
$f(-2)=(-2)^4+3(-2)^3+p(-2)^2-3(-2)-4+p$

$=16-24+4p+6-4+p$

$=-6+5p$

প্রশ্নমতে,
$f(-2)=0$

$\therefore -6+5p=0$

বা,
$5p=6$

$\therefore p=\frac{6}{5}$

অতএব,
$p=\frac{6}{5}$

দেওয়া আছে,
$f(x)=x^4-kx^2+5$

$x=-1$ বসিয়ে পাই,
$f(-1)=(-1)^4-k(-1)^2+5$

$=1-k+5$

$=6-k$

প্রশ্নমতে,
$f(-1)=0$

$\therefore 6-k=0$

$\therefore k=6$

অতএব,
$k=6$

দেওয়া আছে,
$f(z)=\frac{4z-1}{4z+1}$

$z$ এর স্থলে $\frac{1}{z^2}$ বসাই:

$f\left(\frac{1}{z^2}\right)$
$=\frac{4\left(\frac{1}{z^2}\right)-1}{4\left(\frac{1}{z^2}\right)+1}$

$=\frac{\frac{4-z^2}{z^2}}{\frac{4+z^2}{z^2}}$

$=\frac{4-z^2}{4+z^2}$

ধরি,
$M=f\left(\frac{1}{z^2}\right)=\frac{4-z^2}{4+z^2}$

প্রদত্ত রাশি,
$\frac{M+1}{M-1}$

$=\frac{\frac{4-z^2}{4+z^2}+1}{\frac{4-z^2}{4+z^2}-1}$

$=\frac{\frac{4-z^2+4+z^2}{4+z^2}}{\frac{4-z^2-4-z^2}{4+z^2}}$

$=\frac{\frac{8}{4+z^2}}{\frac{-2z^2}{4+z^2}}$

$=\frac{8}{-2z^2}$

$=-\frac{4}{z^2}$

$\therefore \frac{f\left(\frac{1}{z^2}\right)+1}{f\left(\frac{1}{z^2}\right)-1}=-\frac{4}{z^2}$

দেওয়া আছে,
$f(y)=\frac{3y+1}{3y-1}$

$y$ এর স্থলে $\frac{1}{y}$ বসাই:

$f\left(\frac{1}{y}\right)$
$=\frac{3\left(\frac{1}{y}\right)+1}{3\left(\frac{1}{y}\right)-1}$

$=\frac{\frac{3+y}{y}}{\frac{3-y}{y}}$

$=\frac{3+y}{3-y}$

এখন প্রদত্ত রাশি,
$\frac{f(y^{-1})+2}{f(y^{-1})-2}$

$=\frac{\frac{3+y}{3-y}+2}{\frac{3+y}{3-y}-2}$

$=\frac{\frac{3+y+6-2y}{3-y}}{\frac{3+y-6+2y}{3-y}}$

$=\frac{9-y}{3y-3}$

$\therefore \frac{f(y^{-1})+2}{f(y^{-1})-2}=\frac{9-y}{3y-3}$

দেওয়া আছে,
$f(x)=\frac{5x-7}{2x-3}$

$x$ এর স্থলে $\frac{1}{x}$ বসাই:

$f\left(\frac{1}{x}\right)$
$=\frac{5\left(\frac{1}{x}\right)-7}{2\left(\frac{1}{x}\right)-3}$

$=\frac{5-7x}{2-3x}$

ধরি,
$M=f\left(\frac{1}{x}\right)$

তাহলে,
$\frac{M+2}{M-1}=3$

$\implies M+2=3M-3$

$\implies 2M=5$

$\implies M=\frac{5}{2}$

সুতরাং,
$\frac{5-7x}{2-3x}=\frac{5}{2}$

$\implies 2(5-7x)=5(2-3x)$

$\implies 10-14x=10-15x$

$\implies 15x-14x=10-10$

$\implies x=0$

$\therefore x=0$

দেওয়া আছে,
$g(y)=\frac{3y+1}{3y-1}$

$y$ এর স্থলে $(y-2)$ বসাই:

$g(y-2)$
$=\frac{3(y-2)+1}{3(y-2)-1}$

$=\frac{3y-6+1}{3y-6-1}$

$=\frac{3y-5}{3y-7}$

ধরি,
$N=g(y-2)=\frac{3y-5}{3y-7}$

প্রদত্ত রাশি,
$\frac{N+1}{N-1}$

$=\frac{\frac{3y-5}{3y-7}+1}{\frac{3y-5}{3y-7}-1}$

$=\frac{\frac{3y-5+3y-7}{3y-7}}{\frac{3y-5-3y+7}{3y-7}}$

$=\frac{6y-12}{2}$

$=3y-6$

$=3(y-2)$

$\therefore \frac{g(y-2)+1}{g(y-2)-1}=3y-6$

দেওয়া আছে,
$g(x)=\frac{3x+1}{3x-1}$

$g\left(\frac{1}{x}\right)$
$=\frac{3\left(\frac{1}{x}\right)+1}{3\left(\frac{1}{x}\right)-1}$

$=\frac{\frac{3+x}{x}}{\frac{3-x}{x}}$

$=\frac{3+x}{3-x}$

প্রদত্ত রাশি,
$\frac{g\left(\frac{1}{x}\right)+1}{g\left(\frac{1}{x}\right)-1}$

$=\frac{\frac{3+x}{3-x}+1}{\frac{3+x}{3-x}-1}$

$=\frac{\frac{3+x+3-x}{3-x}}{\frac{3+x-3+x}{3-x}}$

$=\frac{6}{2x}$

$=\frac{3}{x}$

$\therefore \frac{g\left(\frac{1}{x}\right)+1}{g\left(\frac{1}{x}\right)-1}=\frac{3}{x}$

দেওয়া আছে,
$f(x)=\frac{5x-7}{2x-3}$

$f\left(\frac{1}{x}\right)$
$=\frac{5\left(\frac{1}{x}\right)-7}{2\left(\frac{1}{x}\right)-3}$

$=\frac{5-7x}{2-3x}$

ধরি,
$M=f\left(\frac{1}{x}\right)$

তাহলে,
$\frac{M+2}{M-1}=2$

$\implies M+2=2M-2$

$\implies M=4$

সুতরাং,
$\frac{5-7x}{2-3x}=4$

$\implies 5-7x=8-12x$

$\implies 12x-7x=8-5$

$\implies 5x=3$

$\implies x=\frac{3}{5}$

$\therefore x=\frac{3}{5}$

বামপক্ষ:
$f\left(\frac{1}{a}\right)$
$=\frac{3\left(\frac{1}{a}\right)^2-\left(\frac{1}{a}\right)^3-1}{\frac{1}{a}\left(\frac{1}{a}-1\right)}$

$=\frac{\frac{3}{a^2}-\frac{1}{a^3}-1}{\frac{1-a}{a^2}}$

$=\frac{\frac{3a-1-a^3}{a^3}}{\frac{1-a}{a^2}}$

$=\frac{3a-1-a^3}{a^3}\times\frac{a^2}{1-a}$

$=\frac{3a-1-a^3}{a(1-a)}$

ডানপক্ষ:
$f(1-a)$
$=\frac{3(1-a)^2-(1-a)^3-1}{(1-a)(1-a-1)}$

$=\frac{3(1-2a+a^2)-(1-3a+3a^2-a^3)-1}{(1-a)(-a)}$

$=\frac{3-6a+3a^2-1+3a-3a^2+a^3-1}{-a(1-a)}$

$=\frac{1-3a+a^3}{-a(1-a)}$

$=\frac{-(3a-1-a^3)}{-a(1-a)}$

$=\frac{3a-1-a^3}{a(1-a)}$

অতএব,
$f\left(\frac{1}{a}\right)=\frac{3a-1-a^3}{a(1-a)}$
এবং
$f(1-a)=\frac{3a-1-a^3}{a(1-a)}$

$\therefore f\left(\frac{1}{a}\right)=f(1-a)$

বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

বামপক্ষ:
$f\left(\frac{1}{a}\right)$
$=\frac{\left(\frac{1}{a}\right)^3-3\left(\frac{1}{a}\right)^2+1}{\frac{1}{a}\left(1-\frac{1}{a}\right)}$

$=\frac{\frac{1}{a^3}-\frac{3}{a^2}+1}{\frac{a-1}{a^2}}$

$=\frac{\frac{1-3a+a^3}{a^3}}{\frac{a-1}{a^2}}$

$=\frac{1-3a+a^3}{a(a-1)}$

ডানপক্ষ:
$f(1-a)$
$=\frac{(1-a)^3-3(1-a)^2+1}{(1-a)\{1-(1-a)\}}$

$=\frac{1-3a+3a^2-a^3-3(1-2a+a^2)+1}{(1-a)a}$

$=\frac{1-3a+3a^2-a^3-3+6a-3a^2+1}{a(1-a)}$

$=\frac{-1+3a-a^3}{a(1-a)}$

$=\frac{-(1-3a+a^3)}{-a(a-1)}$

$=\frac{1-3a+a^3}{a(a-1)}$

অতএব,
$f\left(\frac{1}{a}\right)=\frac{1-3a+a^3}{a(a-1)}$
এবং
$f(1-a)=\frac{1-3a+a^3}{a(a-1)}$

$\therefore f\left(\frac{1}{a}\right)=f(1-a)$

বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

বামপক্ষ:
$h(t^2)$
$=\frac{(t^2)^4+(t^2)^2+1}{(t^2)^2}$

$=\frac{t^8+t^4+1}{t^4}$

ডানপক্ষ:
$h\left(\frac{1}{t^2}\right)$

$=\frac{\left(\frac{1}{t^2}\right)^4+\left(\frac{1}{t^2}\right)^2+1}{\left(\frac{1}{t^2}\right)^2}$

$=\frac{\frac{1}{t^8}+\frac{1}{t^4}+1}{\frac{1}{t^4}}$

$=\frac{\frac{1+t^4+t^8}{t^8}}{\frac{1}{t^4}}$

$=\frac{1+t^4+t^8}{t^8}\times t^4$

$=\frac{t^8+t^4+1}{t^4}$

অতএব,
$h(t^2)=\frac{t^8+t^4+1}{t^4}$
এবং
$h\left(\frac{1}{t^2}\right)=\frac{t^8+t^4+1}{t^4}$

$\therefore h(t^2)=h\left(\frac{1}{t^2}\right)$

বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

বামপক্ষ:
$f(t^{-2})$
$=f\left(\frac{1}{t^2}\right)$

$=\frac{1+\left(\frac{1}{t^2}\right)^2+\left(\frac{1}{t^2}\right)^4}{\left(\frac{1}{t^2}\right)^2}$

$=\frac{1+\frac{1}{t^4}+\frac{1}{t^8}}{\frac{1}{t^4}}$

$=\frac{\frac{t^8+t^4+1}{t^8}}{\frac{1}{t^4}}$

$=\frac{t^8+t^4+1}{t^8}\times t^4$

$=\frac{t^8+t^4+1}{t^4}$

ডানপক্ষ:
$f(t^2)$
$=\frac{1+(t^2)^2+(t^2)^4}{(t^2)^2}$

$=\frac{1+t^4+t^8}{t^4}$

$=\frac{t^8+t^4+1}{t^4}$

অতএব,
$f(t^{-2})=\frac{t^8+t^4+1}{t^4}$
এবং
$f(t^2)=\frac{t^8+t^4+1}{t^4}$

$\therefore f(t^{-2})=f(t^2)$

বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$f(x)=\frac{x^4+x^2+1}{x^2}$

প্রশ্নমতে,
$f\left(\frac{1}{x^2}\right)=4$

$\therefore \frac{\left(\frac{1}{x^2}\right)^4+\left(\frac{1}{x^2}\right)^2+1}{\left(\frac{1}{x^2}\right)^2}=4$

$\implies \frac{\frac{1}{x^8}+\frac{1}{x^4}+1}{\frac{1}{x^4}}=4$

$\implies \frac{1}{x^4}+1+x^4=4$

$\implies x^4+\frac{1}{x^4}=3$

এখন প্রদত্ত রাশি,
$\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2$

$=\left(x^2\right)^2+2\left(x^2\right)\left(\frac{1}{x^2}\right)+\left(\frac{1}{x^2}\right)^2$

$=x^4+2+\frac{1}{x^4}$

$=\left(x^4+\frac{1}{x^4}\right)+2$

$=3+2$

$=5$

$\therefore \left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2=5$

বামপক্ষ:
$f(y^{-1})$
$=f\left(\frac{1}{y}\right)$

$=\frac{\left(\frac{1}{y}\right)^3-3\left(\frac{1}{y}\right)^2+1}{\frac{1}{y}\left(1-\frac{1}{y}\right)}$

$=\frac{\frac{1}{y^3}-\frac{3}{y^2}+1}{\frac{y-1}{y^2}}$

$=\frac{\frac{1-3y+y^3}{y^3}}{\frac{y-1}{y^2}}$

$=\frac{1-3y+y^3}{y^3}\times\frac{y^2}{y-1}$

$=\frac{1-3y+y^3}{y(y-1)}$

ডানপক্ষ:
$f(1-y)$
$=\frac{(1-y)^3-3(1-y)^2+1}{(1-y)\{1-(1-y)\}}$

$=\frac{1-3y+3y^2-y^3-3(1-2y+y^2)+1}{y(1-y)}$

$=\frac{1-3y+3y^2-y^3-3+6y-3y^2+1}{y(1-y)}$

$=\frac{-1+3y-y^3}{y(1-y)}$

$=\frac{-(1-3y+y^3)}{-y(y-1)}$

$=\frac{1-3y+y^3}{y(y-1)}$

অতএব,
$f(y^{-1})=\frac{1-3y+y^3}{y(y-1)}$
এবং
$f(1-y)=\frac{1-3y+y^3}{y(y-1)}$

$\therefore f(y^{-1})=f(1-y)$

বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

ধরি, নির্ণেয় সংখ্যাটি $n$।

প্রশ্নমতে,
$347$ কে $n$ দ্বারা ভাগ করলে অবশিষ্ট $23$ থাকে।

$\therefore n \mid (347-23)$

$\therefore n \mid 324$

আবার,
$455$ কে $n$ দ্বারা ভাগ করলে অবশিষ্ট $23$ থাকে।

$\therefore n \mid (455-23)$

$\therefore n \mid 432$

সুতরাং নির্ণেয় সংখ্যাগুলো $324$ ও $432$ এর সাধারণ গুণনীয়ক হবে এবং অবশ্যই $23$ এর চেয়ে বড় হবে।

$A=\{x\in N:x,\;324$ এর গুণনীয়ক এবং $x>23\}$

$B=\{x\in N:x,\;432$ এর গুণনীয়ক এবং $x>23\}$

এখন $324$ ও $432$ এর গ.সা.গু নির্ণয় করি:

$324=2^2\times3^4$

$432=2^4\times3^3$

$\therefore$ গ.সা.গু $=2^2\times3^3$

$=4\times27$

$=108$

$108$ এর গুণনীয়কগুলো হলো:
$1,2,3,4,6,9,12,18,27,36,54,108$

যেহেতু শর্তমতে সংখ্যাগুলো $23$ এর চেয়ে বড় হতে হবে,
তাই গ্রহণযোগ্য গুণনীয়কগুলো হলো:
$27,36,54,108$

$\therefore A\cap B=\{27,36,54,108\}$