(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$p = \sin \theta + \cos \theta$ ........ (i)

$q = \sec \theta + {\rm cosec}\; \theta$

আমরা জানি, $\sec \theta = \dfrac{1}{\cos \theta}$ এবং ${\rm cosec}\; \theta = \dfrac{1}{\sin \theta}$

$\therefore q = \dfrac{1}{\cos \theta} + \dfrac{1}{\sin \theta}$

ল.সা.গু. করে পাই,

$q = \dfrac{\sin \theta + \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta}$

সমীকরণ (i) হতে $p$ এর মান বসিয়ে পাই,

$q = \dfrac{p}{\sin \theta \cos \theta}$

বজ্রগুণন করে এবং পক্ষান্তর করে পাই,

$\sin \theta \cos \theta = \frac{p}{q}$

সুতরাং, $\frac{p}{q}$ এর নির্ণেয় মান $\sin \theta \cos \theta$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$p = \sin \theta + \cos \theta$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

$p^2 = (\sin \theta + \cos \theta)^2$

বা, $p^2 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta$

আমরা জানি, $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

বা, $p^2 = 1 + 2\sin \theta \cos \theta$

পক্ষান্তর করে পাই,

$p^2 - 1 = 2\sin \theta \cos \theta$

বামপক্ষ (L.H.S):

$= q (p^2 - 1)$

(ক) হতে আমরা পেয়েছি, $q = \dfrac{\sin \theta + \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta}$

মানগুলো বসিয়ে পাই,

$= \dfrac{\sin \theta + \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} \times 2\sin \theta \cos \theta$

উপর ও নিচ থেকে $\sin \theta \cos \theta$ কাটা গেলে থাকে,

$= 2(\sin \theta + \cos \theta)$

যেহেতু $p = \sin \theta + \cos \theta$, তাই মান বসিয়ে পাই,

$= 2p$

ডানপক্ষ (R.H.S):

$= 2p$

$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ

অর্থাৎ, $q \left( p^2-1 \right) = 2p$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

বামপক্ষ (L.H.S):

$= \dfrac{\cos^2 \theta}{2 - 2 \sin^2 \theta - {\rm cosec}^2 \theta}$

নিচের অংশ থেকে $2$ কমন নিয়ে পাই,

$= \dfrac{\cos^2 \theta}{2 (1 - \sin^2 \theta) - {\rm cosec}^2 \theta}$

আমরা জানি, $1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$ এবং ${\rm cosec}^2 \theta = \dfrac{1}{\sin^2 \theta}$

$= \dfrac{\cos^2 \theta}{2 \cos^2 \theta - \frac{1}{\sin^2 \theta}}$

নিচের অংশে ল.সা.গু. করে পাই,

$= \dfrac{\cos^2 \theta}{\frac{2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta - 1}{\sin^2 \theta}}$

ভগ্নাংশটি উল্টে দিলে পাই,

$= \dfrac{\cos^2 \theta \times \sin^2 \theta}{2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta - 1}$

$= \dfrac{(\sin \theta \cos \theta)^2}{2 (\sin \theta \cos \theta)^2 - 1}$

(ক) হতে প্রাপ্ত মান $\sin \theta \cos \theta = \frac{p}{q}$ বসিয়ে পাই,

$= \dfrac{\left(\frac{p}{q}\right)^2}{2 \left(\frac{p}{q}\right)^2 - 1}$

$= \dfrac{\frac{p^2}{q^2}}{\frac{2p^2}{q^2} - 1}$

নিচের অংশে ল.সা.গু. করে পাই,

$= \dfrac{\frac{p^2}{q^2}}{\frac{2p^2 - q^2}{q^2}}$

$= \dfrac{p^2}{q^2} \times \dfrac{q^2}{2p^2 - q^2}$

$= \dfrac{p^2}{2p^2 - q^2}$

ডানপক্ষ (R.H.S):

$= \dfrac{p^2}{2p^2 - q^2}$

$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ

অর্থাৎ, $\frac{\cos^2 \theta}{2 - 2 \sin^2 \theta - {\rm cosec}^2 \theta} = \frac{p^2}{2p^2-q^2}$ Proved