(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\sec (A + 30^\circ) = \sqrt{2}$

আমরা জানি, $\sec 45^\circ = \sqrt{2}$

বা, $\sec (A + 30^\circ) = \sec 45^\circ$

উভয়পক্ষ থেকে $\sec$ বাদ দিয়ে পাই,

বা, $A + 30^\circ = 45^\circ$

বা, $A = 45^\circ - 30^\circ$

$\therefore A = 15^\circ$

সুতরাং, $A$ এর নির্ণেয় মান $15^\circ$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

চিত্র (i) হতে, $\triangle PQR$-এ $\angle Q = 90^\circ$

লম্ব $PQ = x$, অতিভুজ $PR = y$ এবং $\angle PRQ = R$ বা $\theta$

দেওয়া আছে, $x = \sqrt{3}$ এবং $y = 2$

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, ভূমি $QR = \sqrt{PR^2 - PQ^2}$

$= \sqrt{y^2 - x^2}$

$= \sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2}$

$= \sqrt{4 - 3} = \sqrt{1} = 1$

এখন, $\angle R$ এর সাপেক্ষে ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ:

$\sin R =$ ^লম্ব⁄_{অতিভুজ} $= \frac{PQ}{PR} = \frac{x}{y} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos R =$ ^ভূমি⁄_{অতিভুজ} $= \frac{QR}{PR} = \frac{1}{2}$

বামপক্ষ (L.H.S):

$= \sqrt{3} \sin R \cdot \cos R$

$= \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2}$

$= \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{4}$

$= \frac{3}{4}$

ডানপক্ষ (R.H.S):

$= \frac{3}{4}$

$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ

অর্থাৎ, $\sqrt{3} \sin R \cdot \cos R = \frac{3}{4}$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক (ii) হতে পাই,

$\sin \beta + \sin \beta \cdot \cot \beta = P$

দেওয়া আছে, $P = 1$

$\therefore \sin \beta + \sin \beta \cdot \cot \beta = 1$

বামপক্ষ থেকে $\sin \beta$ কমন নিয়ে পাই,

বা, $\sin \beta (1 + \cot \beta) = 1$

$\cot \beta$ কে কোসাইন ও সাইনে ভেঙে পাই,

বা, $\sin \beta \left(1 + \frac{\cos \beta}{\sin \beta}\right) = 1$

ব্র্যাকেটের ভেতরে ল.সা.গু. করে পাই,

বা, $\sin \beta \left(\frac{\sin \beta + \cos \beta}{\sin \beta}\right) = 1$

লব ও হর থেকে $\sin \beta$ কাটা গেলে থাকে,

বা, $\sin \beta + \cos \beta = 1$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

বা, $(\sin \beta + \cos \beta)^2 = 1^2$

বা, $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta + 2\sin \beta \cos \beta = 1$

আমরা জানি, $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$

বা, $1 + 2\sin \beta \cos \beta = 1$

বা, $2\sin \beta \cos \beta = 1 - 1$

বা, $2\sin \beta \cos \beta = 0$

$\therefore \sin \beta \cos \beta = 0$

অতএব, হয় $\sin \beta = 0$ অথবা $\cos \beta = 0$

ক্ষেত্র ১: যদি $\sin \beta = 0$ হয়,

যেহেতু $\sin 0^\circ = 0$, তাই $\beta = 0^\circ$

ক্ষেত্র ২: যদি সচিব $\cos \beta = 0$ হয়,

যেহেতু $\cos 90^\circ = 0$, তাই $\beta = 90^\circ$

শর্তানুযায়ী $0^\circ \le \beta \le 90^\circ$, তাই $\beta$ এর উভয় মানই গ্রহণযোগ্য।

সুতরাং, $\beta$ এর নির্ণেয় মান $0^\circ$ অথবা $90^\circ$। Answer