(ক) নং এর সমাধান

চিত্র হতে পাই,

সমকোণী $\triangle ABC$-এ $\angle B = 90^\circ$

লম্ব, $AB = 1$

ভূমি, $BC = \sqrt{3}$

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

বা, $AC^2 = (1)^2 + (\sqrt{3})^2$

বা, $AC^2 = 1 + 3$

বা, $AC^2 = 4$

$\therefore AC = \sqrt{4} = 2$

সুতরাং, $AC$ এর পরিমাণ $2$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

চিত্র হতে পাই,

$\triangle ABC$-এ, $\angle B$ সমকোণ এবং $AB = 1$, $BC = \sqrt{3}$

এখন, $A$ কোণের সাপেক্ষে,

বিপরীত বাহু (লম্ব) $= BC = \sqrt{3}$

সন্নিহিত বাহু (ভূমি) $= AB = 1$

$\therefore \tan A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$

আবার, $C$ কোণের সাপেক্ষে,

বিপরীত বাহু (লম্ব) $= AB = 1$

সন্নিহিত বাহু (ভূমি) $= BC = \sqrt{3}$

$\therefore \tan C = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

প্রদত্ত রাশি $= \tan A + \tan C$

$= \sqrt{3} + \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

$= \dfrac{(\sqrt{3} \times \sqrt{3}) + 1}{\sqrt{3}}$

$= \dfrac{3 + 1}{\sqrt{3}}$

$= \dfrac{4}{\sqrt{3}}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\dfrac{4}{\sqrt{3}}$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

'খ' হতে পাই,

$\tan A = \sqrt{3}$

এবং $\tan C = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

দেওয়া আছে, $\angle A = x + y$ এবং $\angle C = x - y$

এখন,

$\tan A = \sqrt{3}$

বা, $\tan(x + y) = \tan 60^\circ$

$\therefore x + y = 60^\circ$ .........(i)

আবার,

$\tan C = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

বা, $\tan(x - y) = \tan 30^\circ$

$\therefore x - y = 30^\circ$ .........(ii)

সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,

$(x + y) + (x - y) = 60^\circ + 30^\circ$

বা, $2x = 90^\circ$

বা, $x = \dfrac{90^\circ}{2}$

$\therefore x = 45^\circ$

সমীকরণ (i) হতে সমীকরণ (ii) বিয়োগ করে পাই,

$(x + y) - (x - y) = 60^\circ - 30^\circ$

বা, $x + y - x + y = 30^\circ$

বা, $2y = 30^\circ$

বা, $y = \dfrac{30^\circ}{2}$

$\therefore y = 15^\circ$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $x = 45^\circ$ এবং $y = 15^\circ$। Answer