(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত সারণি থেকে ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি তৈরি করা হলো:

---

(খ) নং এর সমাধান

গণসংখ্যা সারণি থেকে দেখা যায়, সর্বোচ্চ গণসংখ্যা $12$ যা $61-70$ শ্রেণিতে অবস্থিত।

সুতরাং, প্রচুরক শ্রেণি হলো 61-70।

প্রচুরক শ্রেণির মধ্যবিন্দু $=$ ^{$61 + 70$}⁄_$2$ $=$ ^$131$⁄_$2$ $= 65.5$

নির্ণেয় প্রচুরক শ্রেণির মধ্যবিন্দু $65.5$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

মধ্যক নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:

$Median = L + \left( \frac{n}{2} - F_c \right) \times \frac{h}{f_m}$

চলকের পরিচয়:

• $L = $ মধ্যক শ্রেণির নিম্নসীমা।
• $n = $ মোট গণসংখ্যা।
• $F_c = $ মধ্যক শ্রেণির পূর্ববর্তী শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা।
• $f_m = $ মধ্যক শ্রেণির গণসংখ্যা।
• $h = $ শ্রেণি ব্যবধান।

---

(ঘ) নং এর সমাধান

প্রচুরক নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:

$Mode = L + \frac{f_1}{f_1 + f_2} \times h$

বিবৃতি বা চলকের পরিচয়:

• $L = $ প্রচুরক শ্রেণির নিম্নসীমা।
• $f_1 = $ প্রচুরক শ্রেণির গণসংখ্যা - তার পূর্ববর্তী শ্রেণির গণসংখ্যা।
• $f_2 = $ প্রচুরক শ্রেণির গণসংখ্যা - তার পরবর্তী শ্রেণির গণসংখ্যা।
• $h = $ শ্রেণি ব্যবধান।

---

(ঙ) নং এর সমাধান

এখানে মোট গণসংখ্যা, $n = 50$

অতএব, $\frac{n}{2} = \frac{50}{2} = 25$

২৫তম পদের অবস্থান ক্রমযোজিত গণসংখ্যা ৩৬ এর অন্তর্ভুক্ত, যার শ্রেণি হলো ৬১-৭০।

সুতরাং, মধ্যক শ্রেণি হলো ৬১-৭০।

মধ্যক শ্রেণির মধ্যবিন্দু $=$ ^{$61 + 70$}⁄_$2$ $= 65.5$ Answer

---

(চ) নং এর সমাধান

যোজিত গণসংখ্যা সারণি এবং ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি একই। (ক নং প্রশ্নের সমাধানে সারণিটি দেওয়া হয়েছে)

---

(ছ) নং এর সমাধান

কেন্দ্রীয় প্রবণতা: সংগৃহীত উপাত্তসমূহকে মানের ক্রমানুসারে সাজালে উপাত্তসমূহ মাঝামাঝি বা কেন্দ্রের কোনো একটি মানের কাছাকাছি পুঞ্জীভূত হওয়ার প্রবণতা দেখায়। উপাত্তসমূহের কেন্দ্রীয় মানের দিকে পুঞ্জীভূত হওয়ার এই প্রবণতাকেই কেন্দ্রীয় প্রবণতা বলে।

কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ মূলত ৩টি:

1. গাণিতিক গড় (Mean)
2. মধ্যক (Median)
3. প্রচুরক (Mode)

---

(জ) নং এর সমাধান

মোট গণসংখ্যা $n = 50$, যার অর্ধেক $\frac{50}{2} = 25$। ২৫ তম পদটি ৬১-৭০ শ্রেণিতে অবস্থিত।

সুতরাং, মধ্যক শ্রেণি হলো 61-70। Answer

---

(ঝ) নং এর সমাধান

যেকোনো একটি শ্রেণি, যেমন ৩১-৪০ বিবেচনা করলে, শ্রেণি ব্যবধান $h = 40 - 31 + 1 = 10$।

সুতরাং, নির্ণেয় শ্রেণি ব্যবধান 10। Answer

---

(ঞ) নং এর সমাধান

সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:

$\bar{x} = a + \frac{\sum f_i u_i}{n} \times h$

চলকের পরিচয়:

• $\bar{x} = $ গাণিতিক গড়
• $a = $ অনুমিত গড়
• $f_i = $ $i$ তম শ্রেণির গণসংখ্যা
• $u_i = $ $i$ তম শ্রেণির ধাপ বিচ্যুতি = $\frac{x_i - a}{h}$
• $n = $ মোট গণসংখ্যা ($\sum f_i$)
• $h = $ শ্রেণি ব্যবধান

---

(ট) নং এর সমাধান

তথ্য (Information): প্রক্রিয়াজাতকরণ ও সুশৃঙ্খলভাবে সাজানোর পর উপাত্ত যখন কোনো অর্থপূর্ণ ধারণা প্রদান করে, তখন তাকে তথ্য বলে।

উপাত্ত (Data): তথ্যের ক্ষুদ্রতম অংশ বা কাঁচামাল হলো উপাত্ত। সংখ্যাসূচক যেকোনো এলোমেলো মানই উপাত্ত হতে পারে।

পার্থক্য: সকল উপাত্ত তথ্য নয়, কিন্তু সকল তথ্যই উপাত্তের সমন্বয়ে গঠিত।

---

(ঠ) নং এর সমাধান

বিচ্ছিন্ন চলক: যে চলকের মান শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যা হতে পারে, তাকে বিচ্ছিন্ন চলক বলে। যেমন: জনসংখ্যা, পরীক্ষার প্রাপ্ত নম্বর ইত্যাদি।

অবিচ্ছিন্ন চলক: যে চলকের মান যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে (যেমন ভগ্নাংশ বা দশমিক), তাকে অবিচ্ছিন্ন চলক বলে। যেমন: মানুষের বয়স, উচ্চতা, ওজন ইত্যাদি।

---

(ড) নং এর সমাধান

সারণি হতে পাই, মোট গণসংখ্যা $n = 6 + 8 + 10 + 12 + 5 + 7 + 2 = 50$।

শ্রেণি পরিসর $=$ (সর্বোচ্চ মান $-$ সর্বনিম্ন মান) $+ 1$

$= (100 - 31) + 1 = 69 + 1 = 70$।

সুতরাং, মোট গণসংখ্যা 50 এবং পরিসর 70। Answer

---

(ঢ) নং এর সমাধান

সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয়ের সারণি:

আমরা জানি, গড় $\bar{x} = a + \frac{\sum f_i u_i}{n} \times h$

এখানে $a = 65.5, \sum f_i u_i = -19, n = 50, h = 10$

$\bar{x} = 65.5 + \left( \frac{-19}{50} \right) \times 10 = 65.5 - \frac{190}{50} = 65.5 - 3.8 = 61.7$

নির্ণেয় গড় 61.7। Answer

---

(ণ) নং এর সমাধান

এখানে $n=50$, $\frac{n}{2} = 25$। ২৫তম পদটি ৬১-৭০ শ্রেণিতে অবস্থিত। তাই মধ্যক শ্রেণি ৬১-৭০।

এখানে, $L = 61, F_c = 24$ (পূর্ববর্তী শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা), $f_m = 12, h = 10$

মধ্যক $= L + \left( \frac{n}{2} - F_c \right) \times \frac{h}{f_m}$

$= 61 + (25 - 24) \times \frac{10}{12}$

$= 61 + 1 \times 0.833$

$= 61.83$ (প্রায়)

নির্ণেয় মধ্যক 61.83। Answer

---

(ত) নং এর সমাধান

সর্বোচ্চ গণসংখ্যা ১২, যা ৬১-৭০ শ্রেণিতে অবস্থিত। তাই প্রচুরক শ্রেণি ৬১-৭০।

এখানে, $L = 61$

$f_1 = 12 - 10 = 2$

$f_2 = 12 - 5 = 7$

$h = 10$

প্রচুরক $= L + \frac{f_1}{f_1 + f_2} \times h$

$= 61 + \frac{2}{2 + 7} \times 10 = 61 + \frac{20}{9}$

$= 61 + 2.22 = 63.22$ (প্রায়)

নির্ণেয় প্রচুরক 63.22। Answer

---

(থ) নং এর সমাধান

গণসংখ্যা বহুভুজ: X-অক্ষে শ্রেণিমধ্যবিন্দু এবং Y-অক্ষে গণসংখ্যা ধরে গণসংখ্যা বহুভুজ অঙ্কন করা হলো। (X-অক্ষে ২ ঘর = ১ একক, Y-অক্ষে ২ ঘর = ১ একক)।

---

(দ) নং এর সমাধান

আয়তলেখ: X-অক্ষে অবিচ্ছিন্ন শ্রেণিসীমা এবং Y-অক্ষে গণসংখ্যা ধরে আয়তলেখ অঙ্কন করা হলো।

---

(ধ) নং এর সমাধান

অজিভ রেখা: X-অক্ষে অবিচ্ছিন্ন শ্রেণির উচ্চসীমা এবং Y-অক্ষে ক্রমযোজিত গণসংখ্যা ধরে অজিভ রেখা অঙ্কন করা হলো।