দেওয়া আছে,
$y^4=527-\dfrac{1}{y^4}$

$\therefore y^4+\dfrac{1}{y^4}=527$

আমরা জানি,
$y^4+\dfrac{1}{y^4}=\left(y^2+\dfrac{1}{y^2}\right)^2-2$

$\therefore \left(y^2+\dfrac{1}{y^2}\right)^2-2=527$

$\implies \left(y^2+\dfrac{1}{y^2}\right)^2=529$

$\implies \left(y^2+\dfrac{1}{y^2}\right)^2=23^2$

$\therefore y^2+\dfrac{1}{y^2}=23$

আবার,
$\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2=y^2+\dfrac{1}{y^2}+2$

$=23+2$

$=25$

$\therefore y+\dfrac{1}{y}=5$

এখন,
$y^3+\dfrac{1}{y^3}$

$=\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^3-3\left(y+\dfrac{1}{y}\right)$

$=5^3-3(5)$

$=125-15$

$=110$

$\therefore y^3+\dfrac{1}{y^3}=110$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,
$a+\dfrac{1}{a}=4$

আমরা জানি,
$\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2=\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2-4$

$=4^2-4$

$=16-4$

$=12$

$\therefore a-\dfrac{1}{a}=2\sqrt{3}$

আবার,
$a^2+\dfrac{1}{a^2}=\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2-2$

$=4^2-2$

$=16-2$

$=14$

এবং,
$a^2-\dfrac{1}{a^2}$

$=\left(a+\dfrac{1}{a}\right)\left(a-\dfrac{1}{a}\right)$

$=4\times2\sqrt{3}$

$=8\sqrt{3}$

এখন,
$\dfrac{a^8-1}{a^4}$

$=a^4-\dfrac{1}{a^4}$

$=\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}\right)\left(a^2-\dfrac{1}{a^2}\right)$

$=14\times8\sqrt{3}$

$=112\sqrt{3}$

$\therefore \dfrac{a^8-1}{a^4}=112\sqrt{3}$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$m^2-\sqrt{5}m+1=0$

$\implies m^2+1=\sqrt{5}m$

উভয়পক্ষকে $m$ দ্বারা ভাগ করলে পাই,

$m+\dfrac{1}{m}=\sqrt{5}$

আমরা জানি,
$\left(m-\dfrac{1}{m}\right)^2=\left(m+\dfrac{1}{m}\right)^2-4$

$=(\sqrt{5})^2-4$

$=5-4$

$=1$

$\therefore m-\dfrac{1}{m}=1$

আবার,
$m^2+\dfrac{1}{m^2}$

$=\left(m+\dfrac{1}{m}\right)^2-2$

$=5-2$

$=3$

এবং,
$m^3-\dfrac{1}{m^3}$

$=\left(m-\dfrac{1}{m}\right)^3+3\left(m-\dfrac{1}{m}\right)$

$=1^3+3(1)$

$=4$

এখন,
$m^5-\dfrac{1}{m^5}$

$=\left(m^3-\dfrac{1}{m^3}\right)\left(m^2+\dfrac{1}{m^2}\right)-\left(m-\dfrac{1}{m}\right)$

$=4\times3-1$

$=12-1$

$=11$

$\therefore m^5-\dfrac{1}{m^5}=11$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$p=3+2\sqrt{3}$

$\therefore \dfrac{1}{p}$
$=\dfrac{1}{3+2\sqrt{3}}$

$=\dfrac{3-2\sqrt{3}}{(3+2\sqrt{3})(3-2\sqrt{3})}$

$=\dfrac{3-2\sqrt{3}}{9-12}$

$=\dfrac{2\sqrt{3}-3}{3}$

এখন,
$p+\dfrac{1}{p}$

$=3+2\sqrt{3}+\dfrac{2\sqrt{3}-3}{3}$

$=4\sqrt{3}$

এবং,
$p-\dfrac{1}{p}$

$=3+2\sqrt{3}-\dfrac{2\sqrt{3}-3}{3}$

$=4$

সুতরাং,
$p^2+\dfrac{1}{p^2}$

$=\left(p+\dfrac{1}{p}\right)^2-2$

$=(4\sqrt{3})^2-2$

$=48-2$

$=46$

এবং,
$p^2-\dfrac{1}{p^2}$

$=\left(p+\dfrac{1}{p}\right)\left(p-\dfrac{1}{p}\right)$

$=4\sqrt{3}\times4$

$=16\sqrt{3}$

অতএব,
$p^4-\dfrac{1}{p^4}$

$=\left(p^2+\dfrac{1}{p^2}\right)\left(p^2-\dfrac{1}{p^2}\right)$

$=46\times16\sqrt{3}$

$=736\sqrt{3}$

$\therefore p^4-\dfrac{1}{p^4}=736\sqrt{3}$

দেওয়া আছে,
$p=5+2\sqrt{6}$

লক্ষ্য করি,
$5+2\sqrt{6}=3+2+2\sqrt{3}\sqrt{2}$

$=(\sqrt{3})^2+(\sqrt{2})^2+2\sqrt{3}\sqrt{2}$

$=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$

$\therefore \sqrt{p}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$

আবার,
$\dfrac{1}{\sqrt{p}}$

$=\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

$=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}$

$=\sqrt{3}-\sqrt{2}$

সুতরাং,
$\sqrt{p}-\dfrac{1}{\sqrt{p}}$

$=(\sqrt{3}+\sqrt{2})-(\sqrt{3}-\sqrt{2})$

$=2\sqrt{2}$

এখন,
$p\sqrt{p}-(p\sqrt{p})^{-1}$

$=(\sqrt{p})^3-\dfrac{1}{(\sqrt{p})^3}$

$=\left(\sqrt{p}-\dfrac{1}{\sqrt{p}}\right)^3+3\left(\sqrt{p}-\dfrac{1}{\sqrt{p}}\right)$

$=(2\sqrt{2})^3+3(2\sqrt{2})$

$=16\sqrt{2}+6\sqrt{2}$

$=22\sqrt{2}$

$\therefore p\sqrt{p}-(p\sqrt{p})^{-1}=22\sqrt{2}$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$p-3=2\sqrt{3}$

$\therefore p=3+2\sqrt{3}$

এখন,
$\dfrac{1}{p}$
$=\dfrac{1}{3+2\sqrt{3}}$

$=\dfrac{3-2\sqrt{3}}{(3+2\sqrt{3})(3-2\sqrt{3})}$

$=\dfrac{3-2\sqrt{3}}{9-12}$

$=\dfrac{2\sqrt{3}-3}{3}$

সুতরাং,
$p+\dfrac{1}{p}$

$=(3+2\sqrt{3})+\dfrac{2\sqrt{3}-3}{3}$

$=4\sqrt{3}$

এখন,
$p^2+\dfrac{1}{p^2}$

$=\left(p+\dfrac{1}{p}\right)^2-2$

$=(4\sqrt{3})^2-2$

$=48-2$

$=46$

আবার,
$p^3+\dfrac{1}{p^3}$

$=\left(p+\dfrac{1}{p}\right)^3-3\left(p+\dfrac{1}{p}\right)$

$=(4\sqrt{3})^3-3(4\sqrt{3})$

$=192\sqrt{3}-12\sqrt{3}$

$=180\sqrt{3}$

অতএব,
$p^5+\dfrac{1}{p^5}$

$=\left(p^3+\dfrac{1}{p^3}\right)\left(p^2+\dfrac{1}{p^2}\right)-\left(p+\dfrac{1}{p}\right)$

$=(180\sqrt{3})(46)-4\sqrt{3}$

$=8280\sqrt{3}-4\sqrt{3}$

$=8276\sqrt{3}$

$\therefore p^5+\dfrac{1}{p^5}=8276\sqrt{3}$

দেওয়া আছে,
$x^2-2x+1=0$

$\implies (x-1)^2=0$

$\implies x-1=0$

$\implies x=1$

এখন প্রদত্ত রাশি,
$x^5-\dfrac{1}{x^5}$

$=1^5-\dfrac{1}{1^5}$

$=1-1$

$=0$

$\therefore x^5-\dfrac{1}{x^5}=0$

দেওয়া আছে,
$a+b+c=m$

$a^2+b^2+c^2=n$

$a^3+b^3=p^3$

আবার, $c=0$

সুতরাং,
$a+b=m$

$a^2+b^2=n$

$a^3+b^3=p^3$

বামপক্ষ:
$m^3+2p^3$

$=(a+b)^3+2(a^3+b^3)$

$=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+2a^3+2b^3$

$=3a^3+3a^2b+3ab^2+3b^3$

$=3(a^3+a^2b+ab^2+b^3)$

$=3\{a^2(a+b)+b^2(a+b)\}$

$=3(a+b)(a^2+b^2)$

$=3mn$

$=$ ডানপক্ষ

$\therefore m^3+2p^3=3mn$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,
$x^2+\dfrac{1}{x^2}=10$

আমরা জানি,
$\left(x^2-\dfrac{1}{x^2}\right)^2=\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^2-4$

$=10^2-4$

$=100-4$

$=96$

$\therefore x^2-\dfrac{1}{x^2}$

$=\sqrt{96}$

$=\sqrt{16\times6}$

$=4\sqrt{6}$

এখন,
$\dfrac{x^8-1}{x^4}$

$=x^4-\dfrac{1}{x^4}$

$=\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)\left(x^2-\dfrac{1}{x^2}\right)$

$=10\times4\sqrt{6}$

$=40\sqrt{6}$

$\therefore \dfrac{x^8-1}{x^4}=40\sqrt{6}$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$x^4-38x^2+1=0$

$\implies x^4+1=38x^2$

উভয়পক্ষকে $x^2$ দ্বারা ভাগ করলে পাই,

$x^2+\dfrac{1}{x^2}=38$

আমরা জানি,
$\left(x^2-\dfrac{1}{x^2}\right)^2$
$=\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^2-4$

$=38^2-4$

$=1444-4$

$=1440$

$\therefore x^2-\dfrac{1}{x^2}$

$=\sqrt{1440}$

$=\sqrt{144\times10}$

$=12\sqrt{10}$

এখন,
$\dfrac{x^8-1}{x^4}$

$=x^4-\dfrac{1}{x^4}$

$=\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)\left(x^2-\dfrac{1}{x^2}\right)$

$=38\times12\sqrt{10}$

$=456\sqrt{10}$

$\therefore \dfrac{x^8-1}{x^4}=456\sqrt{10}$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$x^2+\dfrac{1}{x^2}=10$

আমরা জানি,
$\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2=x^2+\dfrac{1}{x^2}-2$

$\therefore \left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2=10-2$

$=8$

$\therefore x-\dfrac{1}{x}=2\sqrt{2}$

আবার,
$\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2=x^2+\dfrac{1}{x^2}+2$

$=10+2$

$=12$

$\therefore x+\dfrac{1}{x}=2\sqrt{3}$

এখন,
$x^2-\dfrac{1}{x^2}$

$=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\left(x-\dfrac{1}{x}\right)$

$=(2\sqrt{3})(2\sqrt{2})$

$=4\sqrt{6}$

এবং,
$x^3+\dfrac{1}{x^3}$

$=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3-3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)$

$=(2\sqrt{3})^3-3(2\sqrt{3})$

$=24\sqrt{3}-6\sqrt{3}$

$=18\sqrt{3}$

এখন প্রদত্ত রাশি,
$x^5-\dfrac{1}{x^5}$

$=\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right)\left(x^2-\dfrac{1}{x^2}\right)-\left(x-\dfrac{1}{x}\right)$

$=(18\sqrt{3})(4\sqrt{6})-2\sqrt{2}$

$=72\sqrt{18}-2\sqrt{2}$

$=72(3\sqrt{2})-2\sqrt{2}$

$=216\sqrt{2}-2\sqrt{2}$

$=214\sqrt{2}$

$\therefore x^5-\dfrac{1}{x^5}=214\sqrt{2}$

দ্রষ্টব্য: আপনার প্রদত্ত সমাধানে শেষ ধাপে চিহ্নগত ভুল আছে। সঠিক মান $214\sqrt{2}$।

দেওয়া আছে,
$x=3+2\sqrt{2}$

$=2+2\sqrt{2}+1$

$=(\sqrt{2})^2+2\cdot\sqrt{2}\cdot1+1^2$

$=(\sqrt{2}+1)^2$

$\therefore \sqrt{x}=\sqrt{2}+1$

আবার,
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$

$=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}$

$=\dfrac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}$

$=\sqrt{2}-1$

সুতরাং,
$\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}$

$=(\sqrt{2}+1)-(\sqrt{2}-1)$

$=2$

এখন,
$(\sqrt{x})^3-\dfrac{1}{(\sqrt{x})^3}$

$=\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^3+3\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)$

$=2^3+3(2)$

$=8+6$

$=14$

$\therefore (\sqrt{x})^3-\dfrac{1}{(\sqrt{x})^3}=14$ (প্রমাণিত)

দ্রষ্টব্য: প্রশ্নে $x^2+\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{92}{9}$ দেওয়া থাকলে ডানপক্ষ $728$ পাওয়া যায় না। সঠিকভাবে $728$ পাওয়ার জন্য উদ্দীপকে $\dfrac{82}{9}$ হবে।

তাই $x^2+\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{82}{9}$ ধরে সমাধান করা হলো।

দেওয়া আছে,
$x^2+\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{82}{9}$

আমরা জানি,
$\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2=x^2+\dfrac{1}{x^2}-2$

$=\dfrac{82}{9}-2$

$=\dfrac{82-18}{9}$

$=\dfrac{64}{9}$

$\therefore x-\dfrac{1}{x}=\dfrac{8}{3}$

এখন,
$27\left(x^3-\dfrac{1}{x^3}\right)$

$=27\left[\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^3+3\left(x-\dfrac{1}{x}\right)\right]$

$=27\left[\left(\dfrac{8}{3}\right)^3+3\left(\dfrac{8}{3}\right)\right]$

$=27\left[\dfrac{512}{27}+8\right]$

$=27\left[\dfrac{512+216}{27}\right]$

$=27\left(\dfrac{728}{27}\right)$

$=728$

$\therefore 27\left(x^3-\dfrac{1}{x^3}\right)=728$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$x^4-10x^2+1=0$

$\implies x^4+1=10x^2$

উভয়পক্ষকে $x^2$ দ্বারা ভাগ করলে পাই,

$x^2+\dfrac{1}{x^2}=10$

এখন,
$\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2=x^2+\dfrac{1}{x^2}-2$

$=10-2$

$=8$

$\therefore x-\dfrac{1}{x}=2\sqrt{2}$

আবার,
$x^3-\dfrac{1}{x^3}$

$=\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^3+3\left(x-\dfrac{1}{x}\right)$

$=(2\sqrt{2})^3+3(2\sqrt{2})$

$=16\sqrt{2}+6\sqrt{2}$

$=22\sqrt{2}$

এখন,
$x^5-\dfrac{1}{x^5}$

$=\left(x^3-\dfrac{1}{x^3}\right)\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)-\left(x-\dfrac{1}{x}\right)$

$=(22\sqrt{2})(10)-2\sqrt{2}$

$=220\sqrt{2}-2\sqrt{2}$

$=218\sqrt{2}$

$\therefore x^5-\dfrac{1}{x^5}=218\sqrt{2}$

দেওয়া আছে,
$x=9+\sqrt{80}$

$=9+4\sqrt{5}$

$=5+4+4\sqrt{5}$

$=(\sqrt{5})^2+2\cdot\sqrt{5}\cdot2+2^2$

$=(\sqrt{5}+2)^2$

$\therefore \sqrt{x}=\sqrt{5}+2$

আবার,
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$

$=\dfrac{1}{\sqrt{5}+2}$

$=\dfrac{\sqrt{5}-2}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}$

$=\sqrt{5}-2$

সুতরাং,
$\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}$

$=(\sqrt{5}+2)+(\sqrt{5}-2)$

$=2\sqrt{5}$

এখন,
$x\sqrt{x}+\dfrac{1}{x\sqrt{x}}$

$=(\sqrt{x})^3+\dfrac{1}{(\sqrt{x})^3}$

$=\left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^3-3\left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)$

$=(2\sqrt{5})^3-3(2\sqrt{5})$

$=40\sqrt{5}-6\sqrt{5}$

$=34\sqrt{5}$

$\therefore x\sqrt{x}+\dfrac{1}{x\sqrt{x}}=34\sqrt{5}$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$p^2+\dfrac{1}{p^2}=10$

আমরা জানি,
$\left(p-\dfrac{1}{p}\right)^2=p^2+\dfrac{1}{p^2}-2$

$\therefore \left(p-\dfrac{1}{p}\right)^2=10-2$

$=8$

$\therefore p-\dfrac{1}{p}=2\sqrt{2}$

এখন প্রদত্ত রাশি,
$\dfrac{p^6-1}{p^3}$

$=\dfrac{p^6}{p^3}-\dfrac{1}{p^3}$

$=p^3-\dfrac{1}{p^3}$

$=\left(p-\dfrac{1}{p}\right)^3+3\left(p-\dfrac{1}{p}\right)$

$=(2\sqrt{2})^3+3(2\sqrt{2})$

$=16\sqrt{2}+6\sqrt{2}$

$=22\sqrt{2}$

$\therefore \dfrac{p^6-1}{p^3}=22\sqrt{2}$

দেওয়া আছে,
$p^2=5+2\sqrt{6}$

$=3+2+2\sqrt{3}\sqrt{2}$

$=(\sqrt{3})^2+2\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2$

$=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$

$\therefore p=\sqrt{3}+\sqrt{2}$

আবার,
$\dfrac{1}{p}$

$=\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

$=\sqrt{3}-\sqrt{2}$

সুতরাং,
$p+\dfrac{1}{p}$

$=(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})$

$=2\sqrt{3}$

এখন,
$p^2+\dfrac{1}{p^2}$

$=\left(p+\dfrac{1}{p}\right)^2-2$

$=(2\sqrt{3})^2-2$

$=12-2$

$=10$

এবং,
$p^3+\dfrac{1}{p^3}$

$=\left(p+\dfrac{1}{p}\right)^3-3\left(p+\dfrac{1}{p}\right)$

$=(2\sqrt{3})^3-3(2\sqrt{3})$

$=24\sqrt{3}-6\sqrt{3}$

$=18\sqrt{3}$

এখন,
$\dfrac{p^{10}+1}{p^5}$

$=p^5+\dfrac{1}{p^5}$

$=\left(p^3+\dfrac{1}{p^3}\right)\left(p^2+\dfrac{1}{p^2}\right)-\left(p+\dfrac{1}{p}\right)$

$=(18\sqrt{3})(10)-2\sqrt{3}$

$=180\sqrt{3}-2\sqrt{3}$

$=178\sqrt{3}$

$\therefore \dfrac{p^{10}+1}{p^5}=178\sqrt{3}$ (প্রমাণিত)

দ্রষ্টব্য: ডানপক্ষ $6726$ পাওয়ার জন্য প্রশ্নে $x^2=17+12\sqrt{2}$ হবে। সম্ভবত $17$ এর স্থলে ভুলবশত $7$ মুদ্রিত হয়েছে।

সঠিক উদ্দীপক $x^2=17+12\sqrt{2}$ ধরে সমাধান করছি।

দেওয়া আছে,
$x^2=17+12\sqrt{2}$

$=9+8+12\sqrt{2}$

$=3^2+2\cdot3\cdot2\sqrt{2}+(2\sqrt{2})^2$

$=(3+2\sqrt{2})^2$

$\therefore x=3+2\sqrt{2}$

আবার,
$\dfrac{1}{x}$

$=\dfrac{1}{3+2\sqrt{2}}$

$=3-2\sqrt{2}$

সুতরাং,
$x+\dfrac{1}{x}$

$=(3+2\sqrt{2})+(3-2\sqrt{2})$

$=6$

এখন,
$x^2+\dfrac{1}{x^2}$

$=(x+\dfrac{1}{x})^2-2$

$=6^2-2$

$=34$

এবং,
$x^3+\dfrac{1}{x^3}$

$=(x+\dfrac{1}{x})^3-3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)$

$=6^3-3(6)$

$=216-18$

$=198$

এখন,
$x^5+\dfrac{1}{x^5}$

$=\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right)\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)-\left(x+\dfrac{1}{x}\right)$

$=(198)(34)-6$

$=6732-6$

$=6726$

$\therefore x^5+\dfrac{1}{x^5}=6726$ (প্রমাণিত)

দ্রষ্টব্য: ডানপক্ষ $724$ পাওয়ার জন্য প্রশ্নে $x^2=7+4\sqrt{3}$ হবে। সম্ভবত টাইপিং ত্রুটি রয়েছে।

সঠিক উদ্দীপক $x^2=7+4\sqrt{3}$ ধরে সমাধান করছি।

দেওয়া আছে,
$x^2=7+4\sqrt{3}$

$=4+3+4\sqrt{3}$

$=2^2+2\cdot2\cdot\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2$

$=(2+\sqrt{3})^2$

$\therefore x=2+\sqrt{3}$

আবার,
$\dfrac{1}{x}$

$=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}$

$=2-\sqrt{3}$

সুতরাং,
$x+\dfrac{1}{x}$

$=(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})$

$=4$

এখন,
$x^2+\dfrac{1}{x^2}$

$=4^2-2$

$=14$

এবং,
$x^3+\dfrac{1}{x^3}$

$=4^3-3(4)$

$=64-12$

$=52$

এখন,
$x^5+\dfrac{1}{x^5}$

$=\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right)\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)-\left(x+\dfrac{1}{x}\right)$

$=(52)(14)-4$

$=728-4$

$=724$

$\therefore x^5+\dfrac{1}{x^5}=724$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$a+b+c=10$

$a^2+b^2+c^2=38$

আমরা জানি,
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$

$\therefore 10^2=38+2(ab+bc+ca)$

$\implies 100=38+2(ab+bc+ca)$

$\implies 2(ab+bc+ca)=62$

এখন,
$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$

$=(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)$

$=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca$

$=2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)$

$=2(38)-62$

$=76-62$

$=14$

$\therefore (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=14$

দেওয়া আছে,
$a^4=322-\dfrac{1}{a^4}$

$\therefore a^4+\dfrac{1}{a^4}=322$

আমরা জানি,
$a^4+\dfrac{1}{a^4}=\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}\right)^2-2$

$\therefore \left(a^2+\dfrac{1}{a^2}\right)^2-2=322$

$\implies \left(a^2+\dfrac{1}{a^2}\right)^2=324$

$\implies \left(a^2+\dfrac{1}{a^2}\right)^2=18^2$

$\therefore a^2+\dfrac{1}{a^2}=18$

আবার,
$\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2=a^2+\dfrac{1}{a^2}-2$

$=18-2$

$=16$

$\therefore a-\dfrac{1}{a}=4$

এখন,
$a^3-\dfrac{1}{a^3}$

$=\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^3+3\left(a-\dfrac{1}{a}\right)$

$=4^3+3(4)$

$=64+12$

$=76$

$\therefore a^3-\dfrac{1}{a^3}=76$

$\therefore a^3=76+\dfrac{1}{a^3}$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$x^4-x^2+1=0$

$\implies x^4+1=x^2$

উভয়পক্ষকে $x^2$ দ্বারা ভাগ করলে পাই,

$x^2+\dfrac{1}{x^2}=1$

এখন,
$\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2=x^2+\dfrac{1}{x^2}+2$

$=1+2$

$=3$

$\therefore x+\dfrac{1}{x}=\sqrt{3}$

আবার,
$x^3+\dfrac{1}{x^3}$

$=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3-3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)$

$=(\sqrt{3})^3-3\sqrt{3}$

$=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}$

$=0$

এখন,
$x^5+\dfrac{1}{x^5}$

$=\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right)\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)-\left(x+\dfrac{1}{x}\right)$

$=(0)(1)-\sqrt{3}$

$=-\sqrt{3}$

$\therefore x^5+\dfrac{1}{x^5}=-\sqrt{3}$

দেওয়া আছে,
$x^2-12\sqrt{2}=17$

$\implies x^2=17+12\sqrt{2}$

$=9+8+12\sqrt{2}$

$=3^2+2\cdot3\cdot2\sqrt{2}+(2\sqrt{2})^2$

$=(3+2\sqrt{2})^2$

$\therefore x=3+2\sqrt{2}$

আবার,
$x=3+2\sqrt{2}$

$=2+1+2\sqrt{2}$

$=(\sqrt{2})^2+2\cdot\sqrt{2}\cdot1+1^2$

$=(\sqrt{2}+1)^2$

$\therefore \sqrt{x}=\sqrt{2}+1$

এবং,
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$

$=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}$

$=\sqrt{2}-1$

সুতরাং,
$\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}$

$=(\sqrt{2}+1)-(\sqrt{2}-1)$

$=2$

এখন,
$(\sqrt{x})^3-\dfrac{1}{(\sqrt{x})^3}$

$=\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^3+3\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)$

$=2^3+3(2)$

$=8+6$

$=14$

$\therefore (\sqrt{x})^3-\dfrac{1}{(\sqrt{x})^3}=14$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$x^2=13+\sqrt{168}$

$=13+2\sqrt{42}$

$=7+6+2\sqrt{7\times6}$

$=(\sqrt{7})^2+(\sqrt{6})^2+2\sqrt{7}\sqrt{6}$

$=(\sqrt{7}+\sqrt{6})^2$

$\therefore x=\sqrt{7}+\sqrt{6}$

আবার,
$\dfrac{1}{x}$

$=\dfrac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$

$=\sqrt{7}-\sqrt{6}$

সুতরাং,
$x+\dfrac{1}{x}$

$=(\sqrt{7}+\sqrt{6})+(\sqrt{7}-\sqrt{6})$

$=2\sqrt{7}$

এখন,
$x^3+\dfrac{1}{x^3}$

$=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3-3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)$

$=(2\sqrt{7})^3-3(2\sqrt{7})$

$=8\times7\sqrt{7}-6\sqrt{7}$

$=56\sqrt{7}-6\sqrt{7}$

$=50\sqrt{7}$

$\therefore x^3+\dfrac{1}{x^3}=50\sqrt{7}$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$x^2=11+\sqrt{120}$

$=11+2\sqrt{30}$

$=6+5+2\sqrt{6\times5}$

$=(\sqrt{6})^2+(\sqrt{5})^2+2\sqrt{6}\sqrt{5}$

$=(\sqrt{6}+\sqrt{5})^2$

$\therefore x=\sqrt{6}+\sqrt{5}$

আবার,
$\dfrac{1}{x}$

$=\dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$

$=\sqrt{6}-\sqrt{5}$

সুতরাং,
$x+\dfrac{1}{x}$

$=(\sqrt{6}+\sqrt{5})+(\sqrt{6}-\sqrt{5})$

$=2\sqrt{6}$

এখন,
$x^2+\dfrac{1}{x^2}$

$=(x+\dfrac{1}{x})^2-2$

$=(2\sqrt{6})^2-2$

$=24-2$

$=22$

আবার,
$x^3+\dfrac{1}{x^3}$

$=(x+\dfrac{1}{x})^3-3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)$

$=(2\sqrt{6})^3-3(2\sqrt{6})$

$=48\sqrt{6}-6\sqrt{6}$

$=42\sqrt{6}$

এখন,
$x^5+\dfrac{1}{x^5}$

$=\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right)\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)-\left(x+\dfrac{1}{x}\right)$

$=(42\sqrt{6})(22)-2\sqrt{6}$

$=924\sqrt{6}-2\sqrt{6}$

$=922\sqrt{6}$

$\therefore x^5+\dfrac{1}{x^5}=922\sqrt{6}$

দেওয়া আছে,
$x^2=11-2\sqrt{30}$

$=6-2\sqrt{6\times5}+5$

$=(\sqrt{6})^2-2\sqrt{6}\sqrt{5}+(\sqrt{5})^2$

$=(\sqrt{6}-\sqrt{5})^2$

$\therefore x=\sqrt{6}-\sqrt{5}$

আবার,
$\dfrac{1}{x}$

$=\dfrac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}$

$=\sqrt{6}+\sqrt{5}$

সুতরাং,
$x-\dfrac{1}{x}$

$=(\sqrt{6}-\sqrt{5})-(\sqrt{6}+\sqrt{5})$

$=-2\sqrt{5}$

আবার,
$x+\dfrac{1}{x}$

$=(\sqrt{6}-\sqrt{5})+(\sqrt{6}+\sqrt{5})$

$=2\sqrt{6}$

এখন,
$x^2+\dfrac{1}{x^2}$

$=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2$

$=(2\sqrt{6})^2-2$

$=24-2$

$=22$

এবং,
$x^3-\dfrac{1}{x^3}$

$=\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^3+3\left(x-\dfrac{1}{x}\right)$

$=(-2\sqrt{5})^3+3(-2\sqrt{5})$

$=-40\sqrt{5}-6\sqrt{5}$

$=-46\sqrt{5}$

এখন,
$x^5-\dfrac{1}{x^5}$

$=\left(x^3-\dfrac{1}{x^3}\right)\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)-\left(x-\dfrac{1}{x}\right)$

$=(-46\sqrt{5})(22)-(-2\sqrt{5})$

$=-1012\sqrt{5}+2\sqrt{5}$

$=-1010\sqrt{5}$

$\therefore x^5-\dfrac{1}{x^5}=-1010\sqrt{5}$

দেওয়া আছে,
$a^3+\dfrac{1}{a^3}=42\sqrt{6}$

ধরি,
$a^3=p$

তাহলে,
$p+\dfrac{1}{p}=42\sqrt{6}$

$\therefore p^2-42\sqrt{6}\,p+1=0$

দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্রানুসারে,

$p=\dfrac{42\sqrt{6}\pm\sqrt{(42\sqrt{6})^2-4}}{2}$

$=\dfrac{42\sqrt{6}\pm\sqrt{10584-4}}{2}$

$=\dfrac{42\sqrt{6}\pm\sqrt{10580}}{2}$

$=\dfrac{42\sqrt{6}\pm\sqrt{4\times2645}}{2}$

$=\dfrac{42\sqrt{6}\pm2\sqrt{2645}}{2}$

$=\dfrac{42\sqrt{6}\pm2\sqrt{529\times5}}{2}$

$=\dfrac{42\sqrt{6}\pm46\sqrt{5}}{2}$

$=21\sqrt{6}\pm23\sqrt{5}$

যেহেতু ধনাত্মক মান গ্রহণ করছি,

$\therefore a^3=21\sqrt{6}+23\sqrt{5}$

সুতরাং,
$\therefore a=\sqrt[3]{21\sqrt{6}+23\sqrt{5}}$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$x^2=7+4\sqrt{3}$

$=4+4\sqrt{3}+3$

$=2^2+2\cdot2\cdot\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2$

$=(2+\sqrt{3})^2$

$\therefore x=2+\sqrt{3}$

এবং,
$\dfrac{1}{x}=2-\sqrt{3}$

সুতরাং,
$x+\dfrac{1}{x}$

$=(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})$

$=4$

এখন,
$x^2+\dfrac{1}{x^2}$

$=4^2-2$

$=14$

এবং,
$x^3+\dfrac{1}{x^3}$

$=4^3-3(4)$

$=64-12$

$=52$

অতএব,
$x^5+\dfrac{1}{x^5}$

$=\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right)\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)-\left(x+\dfrac{1}{x}\right)$

$=(52)(14)-4$

$=728-4$

$=724$

$\therefore x^5+\dfrac{1}{x^5}=724$

$\Rightarrow \dfrac{x^{10}+1}{x^5}=724$

$\Rightarrow x^{10}+1=724x^5$

$\Rightarrow x^{10}-724x^5+1=0$

(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$x+y=\sqrt{5}$

এবং,
$x^2-y^2=\sqrt{20}$

$=\sqrt{4\times5}$

$=2\sqrt{5}$

আমরা জানি,
$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$

$\therefore \sqrt{5}(x-y)=2\sqrt{5}$

$\therefore x-y=2$

এখন,
$xy=\dfrac{(x+y)^2-(x-y)^2}{4}$

$=\dfrac{(\sqrt{5})^2-2^2}{4}$

$=\dfrac{5-4}{4}$

$=\dfrac{1}{4}$

আবার,
$x^2+y^2=\dfrac{(x+y)^2+(x-y)^2}{2}$

$=\dfrac{5+4}{2}$

$=\dfrac{9}{2}$

সুতরাং,
$36xy(x^2+y^2)$

$=36\times\dfrac{1}{4}\times\dfrac{9}{2}$

$=9\times\dfrac{9}{2}$

$=\dfrac{81}{2}$

$\therefore 36xy(x^2+y^2)=\dfrac{81}{2}$

দেওয়া আছে,
$x+y=\sqrt{7}$

এবং,
$x^2-y^2=\sqrt{35}$

আমরা জানি,
$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$

$\therefore \sqrt{7}(x-y)=\sqrt{35}$

$\therefore x-y=\sqrt{5}$

এখন,
$4xy=(x+y)^2-(x-y)^2$

$=(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5})^2$

$=7-5$

$=2$

আবার,
$2(x^2+y^2)=(x+y)^2+(x-y)^2$

$=7+5$

$=12$

এখন,
$24xy(x^2+y^2)$

$=3\times4xy\times2(x^2+y^2)$

$=3\times2\times12$

$=72$

$\therefore 24xy(x^2+y^2)=72$

দেওয়া আছে,
$p+q+r=0$

$\therefore q+r=-p$

$\therefore r+p=-q$

$\therefore p+q=-r$

বামপক্ষ:
$\dfrac{(q+r)^2}{6qr}+\dfrac{(r+p)^2}{6rp}+\dfrac{(p+q)^2}{6pq}$

$=\dfrac{(-p)^2}{6qr}+\dfrac{(-q)^2}{6rp}+\dfrac{(-r)^2}{6pq}$

$=\dfrac{p^2}{6qr}+\dfrac{q^2}{6rp}+\dfrac{r^2}{6pq}$

$=\dfrac{p^3+q^3+r^3}{6pqr}$

আমরা জানি,
$p+q+r=0$ হলে,

$p^3+q^3+r^3=3pqr$

সুতরাং,

বামপক্ষ
$=\dfrac{3pqr}{6pqr}$

$=\dfrac{3}{6}$

$=\dfrac{1}{2}$

$=$ ডানপক্ষ

$\therefore \dfrac{(q+r)^2}{6qr}+\dfrac{(r+p)^2}{6rp}+\dfrac{(p+q)^2}{6pq}=\dfrac{1}{2}$

(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$p+q+r=0$

$\therefore q+r=-p$

$\therefore r+p=-q$

$\therefore p+q=-r$

বামপক্ষ:
$\dfrac{(q+r)^2}{12qr}+\dfrac{(r+p)^2}{12rp}+\dfrac{(p+q)^2}{12pq}$

$=\dfrac{(-p)^2}{12qr}+\dfrac{(-q)^2}{12rp}+\dfrac{(-r)^2}{12pq}$

$=\dfrac{p^2}{12qr}+\dfrac{q^2}{12rp}+\dfrac{r^2}{12pq}$

$=\dfrac{p^3+q^3+r^3}{12pqr}$

যেহেতু,
$p+q+r=0$

$\therefore p^3+q^3+r^3=3pqr$

সুতরাং,

বামপক্ষ
$=\dfrac{3pqr}{12pqr}$

$=\dfrac{3}{12}$

$=\dfrac{1}{4}$

$=$ ডানপক্ষ

$\therefore \dfrac{(q+r)^2}{12qr}+\dfrac{(r+p)^2}{12rp}+\dfrac{(p+q)^2}{12pq}=\dfrac{1}{4}$

(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,

$(p^2+q^2)^2=\sqrt[3]{125}$

$=\sqrt[3]{5^3}$

$=5$

এবং,

$(p^2-q^2)^2=\sqrt[3]{64}$

$=\sqrt[3]{4^3}$

$=4$

বামপক্ষ:
$16(p^4+q^4)p^2q^2$

$=2\times2(p^4+q^4)\times4p^2q^2$

আমরা জানি,

$2(a^2+b^2)=(a+b)^2+(a-b)^2$

এবং,

$4ab=(a+b)^2-(a-b)^2$

এখানে $a=p^2,\; b=q^2$ হলে,

$=2\Big\{(p^2+q^2)^2+(p^2-q^2)^2\Big\}$
$\times \Big\{(p^2+q^2)^2-(p^2-q^2)^2\Big\}$

$=2(5+4)(5-4)$

$=2\times9\times1$

$=18$

$=$ ডানপক্ষ

$\therefore 16(p^4+q^4)p^2q^2=18$

(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,

$(p+q)^2=\sqrt[3]{125}$

$=\sqrt[3]{5^3}$

$=5$

এবং,

$(p-q)^2=\sqrt[3]{64}$

$=\sqrt[3]{4^3}$

$=4$

আমরা জানি,

$4pq=(p+q)^2-(p-q)^2$

$=5-4$

$=1$

আবার,

$2(p^2+q^2)=(p+q)^2+(p-q)^2$

$=5+4$

$=9$

$\therefore p^2+q^2=\dfrac{9}{2}$

এখন,

বামপক্ষ:
$4(p^3q+pq^3)$

$=4pq(p^2+q^2)$

$=1\times\dfrac{9}{2}$

$=\dfrac{9}{2}$

$=$ ডানপক্ষ

$\therefore 4(p^3q+pq^3)=\dfrac{9}{2}$

(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,

$p^2+q^2=\sqrt[4]{64}$

$=(2^6)^{\frac14}$

$=2^{\frac64}$

$=2^{\frac32}$

$=\sqrt{8}$

$\therefore (p^2+q^2)^2=8$

আবার,

$p^2-q^2=\sqrt[4]{81}$

$=(3^4)^{\frac14}$

$=3$

$\therefore (p^2-q^2)^2=9$

বামপক্ষ:
$8(p^4+q^4)p^2q^2$

$=2(p^4+q^4)\times4p^2q^2$

$=\Big\{(p^2+q^2)^2+(p^2-q^2)^2\Big\}$
$\times\Big\{(p^2+q^2)^2-(p^2-q^2)^2\Big\}$

$=(8+9)(8-9)$

$=17\times(-1)$

$=-17$

$=$ ডানপক্ষ

$\therefore 8(p^4+q^4)p^2q^2=-17$

(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$x+y=\sqrt{3}$

এবং,
$x^2-y^2=\sqrt{6}$

আমরা জানি,
$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$

$\therefore \sqrt{3}(x-y)=\sqrt{6}$

$\therefore x-y=\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}$

$=\sqrt{2}$

এখন,
$xy=\dfrac{(x+y)^2-(x-y)^2}{4}$

$=\dfrac{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}{4}$

$=\dfrac{3-2}{4}$

$=\dfrac{1}{4}$

সুতরাং,
$x^3+y^3$

$=(x+y)^3-3xy(x+y)$

$=(\sqrt{3})^3-3\left(\dfrac{1}{4}\right)\sqrt{3}$

$=3\sqrt{3}-\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$

$=\dfrac{12\sqrt{3}-3\sqrt{3}}{4}$

$=\dfrac{9\sqrt{3}}{4}$

$\therefore x^3+y^3=\dfrac{9\sqrt{3}}{4}$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$x=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}$

$\therefore 3x=\sqrt{5}+\sqrt{2}$

এবং,
$y=\sqrt{5}-\sqrt{2}$

সুতরাং,
$3x+y$

$=(\sqrt{5}+\sqrt{2})+(\sqrt{5}-\sqrt{2})$

$=2\sqrt{5}$

আবার,
$3x-y$

$=(\sqrt{5}+\sqrt{2})-(\sqrt{5}-\sqrt{2})$

$=2\sqrt{2}$

আমরা জানি,
$4(3x)y=(3x+y)^2-(3x-y)^2$

$=(2\sqrt{5})^2-(2\sqrt{2})^2$

$=20-8$

$=12$

$\therefore 12xy=12$

$\therefore xy=1$

$\therefore 3xy=3$

আবার,
$2\{(3x)^2+y^2\}$

$=(3x+y)^2+(3x-y)^2$

$=(2\sqrt{5})^2+(2\sqrt{2})^2$

$=20+8$

$=28$

$\therefore 9x^2+y^2=14$

এখন,
$3xy(9x^2+y^2)$

$=3\times14$

$=42$

$\therefore 3xy(9x^2+y^2)=42$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$x=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}$

$\therefore 3x=\sqrt{5}+\sqrt{2}$

এবং,
$y=\sqrt{5}-\sqrt{2}$

এখন,
$(3x)y$

$=(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})$

$=5-2$

$=3$

$\therefore 3x=\dfrac{3}{y}$

সুতরাং,
$\dfrac{3}{y}=\sqrt{5}+\sqrt{2}$

এখন,
$\dfrac{3}{y}-y$

$=(\sqrt{5}+\sqrt{2})-(\sqrt{5}-\sqrt{2})$

$=2\sqrt{2}$

বামপক্ষ:
$\dfrac{27}{y^3}-y^3$

$=\left(\dfrac{3}{y}\right)^3-y^3$

$=\left(\dfrac{3}{y}-y\right)^3+3\left(\dfrac{3}{y}\right)y\left(\dfrac{3}{y}-y\right)$

$=(2\sqrt{2})^3+3(3)(2\sqrt{2})$

$=16\sqrt{2}+18\sqrt{2}$

$=34\sqrt{2}$

$=$ ডানপক্ষ

$\therefore \dfrac{27}{y^3}-y^3=34\sqrt{2}$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$y^4+\dfrac{1}{y^4}=m^4+4m^2+2$

ডানপক্ষকে সাজিয়ে পাই,

$m^4+4m^2+2$

$=(m^2)^2+2(m^2)(2)+2^2-2$

$=(m^2+2)^2-2$

আবার,
$y^4+\dfrac{1}{y^4}=\left(y^2+\dfrac{1}{y^2}\right)^2-2$

সুতরাং,

$\left(y^2+\dfrac{1}{y^2}\right)^2-2=(m^2+2)^2-2$

$\Rightarrow \left(y^2+\dfrac{1}{y^2}\right)^2=(m^2+2)^2$

$\Rightarrow y^2+\dfrac{1}{y^2}=m^2+2$

এখন,
$\left(y-\dfrac{1}{y}\right)^2$

$=y^2+\dfrac{1}{y^2}-2$

$=(m^2+2)-2$

$=m^2$

$\therefore y-\dfrac{1}{y}=m$

$\Rightarrow \dfrac{y^2-1}{y}=m$

$\Rightarrow y^2-1=my$

(দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,
$x^2-2\sqrt{2}=3$

$\Rightarrow x^2=3+2\sqrt{2}$

$=2+2\sqrt{2}+1$

$=(\sqrt{2})^2+2\cdot\sqrt{2}\cdot1+1^2$

$=(\sqrt{2}+1)^2$

$\therefore x=\sqrt{2}+1$

আবার,
$\dfrac{1}{x}$

$=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}$

$=\sqrt{2}-1$

সুতরাং,
$x+\dfrac{1}{x}$

$=(\sqrt{2}+1)+(\sqrt{2}-1)$

$=2\sqrt{2}$

এখন,
$x^2+\dfrac{1}{x^2}$

$=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2$

$=(2\sqrt{2})^2-2$

$=8-2$

$=6$

আবার,
$x^3+\dfrac{1}{x^3}$

$=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3-3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)$

$=(2\sqrt{2})^3-3(2\sqrt{2})$

$=16\sqrt{2}-6\sqrt{2}$

$=10\sqrt{2}$

এখন,
$x^2\left(x^3+\dfrac{1}{x^7}\right)$

$=x^5+\dfrac{1}{x^5}$

$=\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right)\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)-\left(x+\dfrac{1}{x}\right)$

$=(10\sqrt{2})(6)-2\sqrt{2}$

$=60\sqrt{2}-2\sqrt{2}$

$=58\sqrt{2}$

$=$ ডানপক্ষ

$\therefore x^2\left(x^3+\dfrac{1}{x^7}\right)=58\sqrt{2}$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$(x+2)+\dfrac{1}{x+2}=5$

ধরি,
$x+2=A$

$\therefore A+\dfrac{1}{A}=5$

এখন,
$A^2+\dfrac{1}{A^2}$

$=\left(A+\dfrac{1}{A}\right)^2-2$

$=5^2-2$

$=25-2$

$=23$

আবার,
$A^3+\dfrac{1}{A^3}$

$=\left(A+\dfrac{1}{A}\right)^3-3\left(A+\dfrac{1}{A}\right)$

$=5^3-3(5)$

$=125-15$

$=110$

এখন,
$A^5+\dfrac{1}{A^5}$

$=\left(A^3+\dfrac{1}{A^3}\right)\left(A^2+\dfrac{1}{A^2}\right)-\left(A+\dfrac{1}{A}\right)$

$=(110)(23)-5$

$=2530-5$

$=2525$

$\therefore (x+2)^5+\dfrac{1}{(x+2)^5}=2525$

(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$y^4+\dfrac{1}{y^4}=119$

আমরা জানি,
$y^4+\dfrac{1}{y^4}=\left(y^2+\dfrac{1}{y^2}\right)^2-2$

সুতরাং,

$\left(y^2+\dfrac{1}{y^2}\right)^2-2=119$

$\Rightarrow \left(y^2+\dfrac{1}{y^2}\right)^2=121$

$=11^2$

$\therefore y^2+\dfrac{1}{y^2}=11$

এখন,
$\left(y-\dfrac{1}{y}\right)^2$

$=y^2+\dfrac{1}{y^2}-2$

$=11-2$

$=9$

$\therefore y-\dfrac{1}{y}=3$

$\Rightarrow y=3+\dfrac{1}{y}$

(দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,
$p=9+4\sqrt{5}$

$=5+4+4\sqrt{5}$

$=(\sqrt{5})^2+2\cdot\sqrt{5}\cdot2+2^2$

$=(\sqrt{5}+2)^2$

$\therefore \sqrt{p}=\sqrt{5}+2$

আবার,
$\dfrac{1}{\sqrt{p}}$

$=\dfrac{1}{\sqrt{5}+2}$

$=\sqrt{5}-2$

সুতরাং,
$\sqrt{p}+\dfrac{1}{\sqrt{p}}$

$=(\sqrt{5}+2)+(\sqrt{5}-2)$

$=2\sqrt{5}$

এখন,
$p\sqrt{p}+\dfrac{1}{p\sqrt{p}}$

$=(\sqrt{p})^3+\dfrac{1}{(\sqrt{p})^3}$

$=\left(\sqrt{p}+\dfrac{1}{\sqrt{p}}\right)^3-3\left(\sqrt{p}+\dfrac{1}{\sqrt{p}}\right)$

$=(2\sqrt{5})^3-3(2\sqrt{5})$

$=40\sqrt{5}-6\sqrt{5}$

$=34\sqrt{5}$

$=$ ডানপক্ষ

$\therefore p\sqrt{p}+\dfrac{1}{p\sqrt{p}}=34\sqrt{5}$

(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$p^4=119-\dfrac{1}{p^4}$

$\therefore p^4+\dfrac{1}{p^4}=119$

আমরা জানি,
$p^4+\dfrac{1}{p^4}=\left(p^2+\dfrac{1}{p^2}\right)^2-2$

সুতরাং,

$\left(p^2+\dfrac{1}{p^2}\right)^2-2=119$

$\Rightarrow \left(p^2+\dfrac{1}{p^2}\right)^2=121$

$\Rightarrow p^2+\dfrac{1}{p^2}=11$

আবার,
$\left(p-\dfrac{1}{p}\right)^2$

$=p^2+\dfrac{1}{p^2}-2$

$=11-2$

$=9$

$\therefore p-\dfrac{1}{p}=3$

এখন,
$p^3-\dfrac{1}{p^3}$

$=\left(p-\dfrac{1}{p}\right)^3+3\left(p-\dfrac{1}{p}\right)$

$=3^3+3(3)$

$=27+9$

$=36$

$\therefore \dfrac{p^6-1}{p^3}=36$

$\Rightarrow p^6-1=36p^3$

$\Rightarrow p^6-1-36p^3=0$

(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$p=3+2\sqrt{2}$

$=2+1+2\sqrt{2}$

$=(\sqrt{2})^2+2\cdot\sqrt{2}\cdot1+1^2$

$=(\sqrt{2}+1)^2$

$\therefore \sqrt{p}=\sqrt{2}+1$

আবার,
$\dfrac{1}{\sqrt{p}}$

$=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}$

$=\sqrt{2}-1$

সুতরাং,
$\sqrt{p}+\dfrac{1}{\sqrt{p}}$

$=(\sqrt{2}+1)+(\sqrt{2}-1)$

$=2\sqrt{2}$

এখন,
$p\sqrt{p}+\dfrac{1}{p\sqrt{p}}$

$=(\sqrt{p})^3+\dfrac{1}{(\sqrt{p})^3}$

$=\left(\sqrt{p}+\dfrac{1}{\sqrt{p}}\right)^3-3\left(\sqrt{p}+\dfrac{1}{\sqrt{p}}\right)$

$=(2\sqrt{2})^3-3(2\sqrt{2})$

$=16\sqrt{2}-6\sqrt{2}$

$=10\sqrt{2}$

$=$ ডানপক্ষ

$\therefore p\sqrt{p}+\dfrac{1}{p\sqrt{p}}=10\sqrt{2}$

(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$p-3=2\sqrt{2}$

$\therefore p=3+2\sqrt{2}$

আবার,
$\dfrac{1}{p}$

$=\dfrac{1}{3+2\sqrt{2}}$

$=3-2\sqrt{2}$

সুতরাং,
$p+\dfrac{1}{p}$

$=(3+2\sqrt{2})+(3-2\sqrt{2})$

$=6$

এখন,
$p^2+\dfrac{1}{p^2}$

$=\left(p+\dfrac{1}{p}\right)^2-2$

$=6^2-2$

$=36-2$

$=34$

অতএব,
$p^4+\dfrac{1}{p^4}$

$=\left(p^2+\dfrac{1}{p^2}\right)^2-2$

$=34^2-2$

$=1156-2$

$=1154$

$\therefore p^4+\dfrac{1}{p^4}=1154$

দেওয়া আছে,
$x^2-2x+1=0$

$\Rightarrow (x-1)^2=0$

$\Rightarrow x=1$

বামপক্ষ:
$x^2+\dfrac{1}{x^2}$

$=1^2+\dfrac{1}{1^2}$

$=1+1$

$=2$

ডানপক্ষ:
$x^4+x^{-4}$

$=x^4+\dfrac{1}{x^4}$

$=1^4+\dfrac{1}{1^4}$

$=1+1$

$=2$

সুতরাং,
বামপক্ষ = ডানপক্ষ

$\therefore x^2+\dfrac{1}{x^2}=x^4+x^{-4}$

(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$x^2=5+2\sqrt{6}$

$\therefore \dfrac{1}{x^2}$

$=\dfrac{1}{5+2\sqrt{6}}$

$=5-2\sqrt{6}$

সুতরাং,
$x^2+\dfrac{1}{x^2}$

$=(5+2\sqrt{6})+(5-2\sqrt{6})$

$=10$

এখন,
$\dfrac{x^8+1}{x^4}$

$=x^4+\dfrac{1}{x^4}$

$=\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^2-2$

$=10^2-2$

$=100-2$

$=98$

$\therefore \dfrac{x^8+1}{x^4}=98$

(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$x=3+2\sqrt{2}$

$\therefore \dfrac{1}{x}$

$=\dfrac{1}{3+2\sqrt{2}}$

$=3-2\sqrt{2}$

সুতরাং,
$x+\dfrac{1}{x}$

$=(3+2\sqrt{2})+(3-2\sqrt{2})$

$=6$

এখন,
$x^2+\dfrac{1}{x^2}$

$=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2$

$=6^2-2$

$=34$

প্রদত্ত রাশি,
$x^6+\dfrac{1}{x^6}$

$=\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^3-3\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)$

$=34^3-3(34)$

$=39304-102$

$=39202$

$\therefore x^6+\dfrac{1}{x^6}=39202$

দেওয়া আছে,
$y=5+2\sqrt{6}$

$\therefore \dfrac{1}{y}$

$=\dfrac{1}{5+2\sqrt{6}}$

$=5-2\sqrt{6}$

সুতরাং,
$y+\dfrac{1}{y}$

$=(5+2\sqrt{6})+(5-2\sqrt{6})$

$=10$

এখন,
$y^2+\dfrac{1}{y^2}$

$=\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2-2$

$=10^2-2$

$=100-2$

$=98$

অতএব,
$y^4+\dfrac{1}{y^4}$

$=\left(y^2+\dfrac{1}{y^2}\right)^2-2$

$=98^2-2$

$=9604-2$

$=9602$

$\therefore y^4+\dfrac{1}{y^4}=9602$

দেওয়া আছে,
$x=3+2\sqrt{2}$

$=2+2\sqrt{2}+1$

$=(\sqrt{2})^2+2\cdot\sqrt{2}\cdot1+1^2$

$=(\sqrt{2}+1)^2$

$\therefore \sqrt{x}=\sqrt{2}+1$

আবার,
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$

$=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}$

$=\sqrt{2}-1$

সুতরাং,
$\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}$

$=(\sqrt{2}+1)+(\sqrt{2}-1)$

$=2\sqrt{2}$

এখন,
$x\sqrt{x}+\dfrac{1}{x\sqrt{x}}$

$=(\sqrt{x})^3+\dfrac{1}{(\sqrt{x})^3}$

$=\left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^3-3\left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)$

$=(2\sqrt{2})^3-3(2\sqrt{2})$

$=16\sqrt{2}-6\sqrt{2}$

$=10\sqrt{2}$

$=$ ডানপক্ষ

$\therefore x\sqrt{x}+\dfrac{1}{x\sqrt{x}}=10\sqrt{2}$

(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$a^6-18a^3+1=0$

$\Rightarrow (a^3)^2-18(a^3)+1=0$

ধরি,
$t=a^3$

তাহলে,
$t^2-18t+1=0$

দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্রানুসারে,

$t=\dfrac{18\pm\sqrt{18^2-4}}{2}$

$=\dfrac{18\pm\sqrt{324-4}}{2}$

$=\dfrac{18\pm\sqrt{320}}{2}$

$=\dfrac{18\pm8\sqrt{5}}{2}$

$=9\pm4\sqrt{5}$

ধনাত্মক মান গ্রহণ করলে,

$a^3=9+4\sqrt{5}$

আবার,

$\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^3 =9+4\sqrt{5}$

সুতরাং,

$a=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$

(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$a^3+\dfrac{1}{a^3}=18$

$\Rightarrow \dfrac{a^6+1}{a^3}=18$

$\Rightarrow a^6+1=18a^3$

$\Rightarrow a^6-18a^3+1=0$

$\Rightarrow (a^3)^2-18(a^3)+1=0$

ধরি,
$t=a^3$

তাহলে,
$t^2-18t+1=0$

দ্বিঘাত সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

$t=\dfrac{18\pm\sqrt{324-4}}{2}$

$=\dfrac{18\pm8\sqrt{5}}{2}$

$=9\pm4\sqrt{5}$

ধনাত্মক মান গ্রহণ করলে,

$a^3=9+4\sqrt{5}$

আবার,

$\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^3 =9+4\sqrt{5}$

$\therefore a=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$

(দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,
$p^2-9-4\sqrt{5}=0$

$\Rightarrow p^2=9+4\sqrt{5}$

$=5+4+4\sqrt{5}$

$=(\sqrt{5})^2+2\cdot\sqrt{5}\cdot2+2^2$

$=(2+\sqrt{5})^2$

$\therefore p=2+\sqrt{5}$

আবার,
$\dfrac{1}{p}$

$=\dfrac{1}{2+\sqrt{5}}$

$=\sqrt{5}-2$

সুতরাং,
$p+\dfrac{1}{p}$

$=(2+\sqrt{5})+(\sqrt{5}-2)$

$=2\sqrt{5}$

এখন,
$p^2+\dfrac{1}{p^2}$

$=(2\sqrt{5})^2-2$

$=20-2$

$=18$

আবার,
$p^3+\dfrac{1}{p^3}$

$=(2\sqrt{5})^3-3(2\sqrt{5})$

$=40\sqrt{5}-6\sqrt{5}$

$=34\sqrt{5}$

এবং,
$p^4+\dfrac{1}{p^4}$

$=18^2-2$

$=324-2$

$=322$

এখন,
$p^7+\dfrac{1}{p^7}$

$=\left(p^4+\dfrac{1}{p^4}\right) \left(p^3+\dfrac{1}{p^3}\right) -\left(p+\dfrac{1}{p}\right)$

$=(322)(34\sqrt{5})-2\sqrt{5}$

$=10948\sqrt{5}-2\sqrt{5}$

$=10946\sqrt{5}$

$\therefore p^7+\dfrac{1}{p^7}=10946\sqrt{5}$

দেওয়া আছে,
$a^3+\dfrac{1}{a^3}=18\sqrt{3}$

আমরা জানি,
$a^3+\dfrac{1}{a^3} =\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^3 -3\left(a+\dfrac{1}{a}\right)$

ধরি,
$a+\dfrac{1}{a}=x$

তাহলে,
$x^3-3x=18\sqrt{3}$

এখন $x=2\sqrt{3}$ বসালে,

$(2\sqrt{3})^3-3(2\sqrt{3})$

$=24\sqrt{3}-6\sqrt{3}$

$=18\sqrt{3}$

সুতরাং,
$a+\dfrac{1}{a}=2\sqrt{3}$

$\Rightarrow a^2-2\sqrt{3}a+1=0$

$\Rightarrow a=\dfrac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{12-4}}{2}$

$=\dfrac{2\sqrt{3}\pm2\sqrt{2}}{2}$

$=\sqrt{3}\pm\sqrt{2}$

ধনাত্মক মান গ্রহণ করলে,

$a=\sqrt{3}+\sqrt{2}$

(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$x=\sqrt{5}+2$

$\therefore \dfrac{1}{x}$

$=\dfrac{1}{\sqrt{5}+2}$

$=\sqrt{5}-2$

সুতরাং,
$x+\dfrac{1}{x}$

$=(\sqrt{5}+2)+(\sqrt{5}-2)$

$=2\sqrt{5}$

এখন,
$x^2+\dfrac{1}{x^2}$

$=(2\sqrt{5})^2-2$

$=20-2$

$=18$

আবার,
$x^3+\dfrac{1}{x^3}$

$=(2\sqrt{5})^3-3(2\sqrt{5})$

$=40\sqrt{5}-6\sqrt{5}$

$=34\sqrt{5}$

এখন,
$x^5+\dfrac{1}{x^5}$

$=\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right) \left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right) -\left(x+\dfrac{1}{x}\right)$

$=(34\sqrt{5})(18)-2\sqrt{5}$

$=612\sqrt{5}-2\sqrt{5}$

$=610\sqrt{5}$

$=$ ডানপক্ষ

$\therefore x^5+\dfrac{1}{x^5}=610\sqrt{5}$

(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$a^3+\dfrac{1}{a^3}=34\sqrt{5}$

আমরা জানি,
$a^3+\dfrac{1}{a^3} =\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^3 -3\left(a+\dfrac{1}{a}\right)$

ধরি,
$a+\dfrac{1}{a}=x$

তাহলে,
$x^3-3x=34\sqrt{5}$

এখন $x=2\sqrt{5}$ বসালে,

$(2\sqrt{5})^3-3(2\sqrt{5})$

$=40\sqrt{5}-6\sqrt{5}$

$=34\sqrt{5}$

সুতরাং,
$a+\dfrac{1}{a}=2\sqrt{5}$

$\Rightarrow a^2-2\sqrt{5}a+1=0$

$\Rightarrow a=\dfrac{2\sqrt{5}\pm\sqrt{20-4}}{2}$

$=\dfrac{2\sqrt{5}\pm4}{2}$

$=\sqrt{5}\pm2$

ধনাত্মক মান গ্রহণ করলে,

$a=\sqrt{5}+2$

$=2+\sqrt{5}$

(দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,
$a^3+\dfrac{1}{a^3}=18\sqrt{3}$

পূর্বের ন্যায় পাই,

$a+\dfrac{1}{a}=2\sqrt{3}$

$\Rightarrow a^2-2\sqrt{3}a+1=0$

$\Rightarrow a=\sqrt{3}+\sqrt{2}$

অতএব,

$\dfrac{1}{a}$

$=\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

$=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}} {(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}$

$=\sqrt{3}-\sqrt{2}$

$\therefore \dfrac{1}{a}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$

(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$x^2-2\sqrt{2}=3$

$\Rightarrow x^2=3+2\sqrt{2}$

$=(\sqrt{2}+1)^2$

$\therefore x=\sqrt{2}+1$

এবং,

$\dfrac{1}{x}=\sqrt{2}-1$

সুতরাং,
$x+\dfrac{1}{x}=2\sqrt{2}$

$x^2+\dfrac{1}{x^2}$

$=(2\sqrt{2})^2-2$

$=6$

আবার,
$x^3+\dfrac{1}{x^3}$

$=(2\sqrt{2})^3-3(2\sqrt{2})$

$=16\sqrt{2}-6\sqrt{2}$

$=10\sqrt{2}$

এখন,
$x^5+\dfrac{1}{x^5}$

$=\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right) \left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right) -\left(x+\dfrac{1}{x}\right)$

$=(10\sqrt{2})(6)-2\sqrt{2}$

$=60\sqrt{2}-2\sqrt{2}$

$=58\sqrt{2}$

$=$ ডানপক্ষ

$\therefore x^5+\dfrac{1}{x^5}=58\sqrt{2}$

(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$x^2=5+\sqrt{24}$

$=5+2\sqrt{6}$

$=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$

$\therefore x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$

আবার,

$\dfrac{1}{x}$

$=\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

$=\sqrt{3}-\sqrt{2}$

সুতরাং,
$x-\dfrac{1}{x}$

$=(\sqrt{3}+\sqrt{2})-(\sqrt{3}-\sqrt{2})$

$=2\sqrt{2}$

এবং,

$x+\dfrac{1}{x}=2\sqrt{3}$

$\Rightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}$

$=(2\sqrt{3})^2-2$

$=10$

আবার,
$x^3-\dfrac{1}{x^3}$

$=(2\sqrt{2})^3+3(2\sqrt{2})$

$=16\sqrt{2}+6\sqrt{2}$

$=22\sqrt{2}$

এখন,
$x^5-\dfrac{1}{x^5}$

$=\left(x^3-\dfrac{1}{x^3}\right) \left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right) -\left(x-\dfrac{1}{x}\right)$

$=(22\sqrt{2})(10)-2\sqrt{2}$

$=220\sqrt{2}-2\sqrt{2}$

$=218\sqrt{2}$

$=$ ডানপক্ষ

$\therefore x^5-\dfrac{1}{x^5}=218\sqrt{2}$

(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$y=7+4\sqrt{3}$

$=4+4\sqrt{3}+3$

$=(2+\sqrt{3})^2$

$\therefore \sqrt{y}=2+\sqrt{3}$

আবার,

$\dfrac{1}{\sqrt{y}}$

$=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}$

$=2-\sqrt{3}$

সুতরাং,

$\sqrt{y}-\dfrac{1}{\sqrt{y}}$

$=(2+\sqrt{3})-(2-\sqrt{3})$

$=2\sqrt{3}$

$=$ ডানপক্ষ

$\therefore \sqrt{y}-\dfrac{1}{\sqrt{y}}=2\sqrt{3}$

(দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,
$a^3+\dfrac{1}{a^3}=34\sqrt{5}$

পূর্বের ন্যায় পাই,

$a+\dfrac{1}{a}=2\sqrt{5}$

উভয়পক্ষকে বর্গ করলে,

$\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2=(2\sqrt{5})^2$

$\Rightarrow a^2+2+\dfrac{1}{a^2}=20$

$\Rightarrow a^2+\dfrac{1}{a^2}=18$

আবার,
$a=2+\sqrt{5}$

$\therefore a^2=(2+\sqrt{5})^2$

$=4+4√5+5$

$=9+4\sqrt{5}$

$\therefore a^2=9+4\sqrt{5}$

(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
$a^2-2\sqrt{6}a+1=0$

$\Rightarrow a^2+1=2\sqrt{6}a$

উভয়পক্ষকে $a$ দ্বারা ভাগ করলে,

$a+\dfrac{1}{a}=2\sqrt{6}$

এখন,
$\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2$

$=\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2-4$

$=(2\sqrt{6})^2-4$

$=24-4$

$=20$

$\therefore a-\dfrac{1}{a}=2\sqrt{5}$

এখন,
$\dfrac{1}{a^3}(a^6-1)$

$=\dfrac{a^6}{a^3}-\dfrac{1}{a^3}$

$=a^3-\dfrac{1}{a^3}$

$=\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^3+3\left(a-\dfrac{1}{a}\right)$

$=(2\sqrt{5})^3+3(2\sqrt{5})$

$=40\sqrt{5}+6\sqrt{5}$

$=46\sqrt{5}$

$\therefore \dfrac{1}{a^3}(a^6-1)=46\sqrt{5}$