ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৮

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে, সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABC$-এ $\angle A = 90^\circ$

অতিভুজ $BC = 37$ সে.মি. এবং ভূমি $AB = 12$ সে.মি.

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,

$BC^2 = AB^2 + AC^2$

বা, $37^2 = 12^2 + AC^2$

বা, $1369 = 144 + AC^2$

বা, $AC^2 = 1369 - 144$

বা, $AC^2 = 1225$

$\therefore AC = \sqrt{1225} = 35$ সে.মি. (লম্ব)

এখানে, $\angle ABC = \theta$

আমরা জানি, $\sin \theta =$ ^লম্ব⁄_{অতিভুজ} $= \frac{AC}{BC} = \frac{35}{37}$

$\therefore {\rm cosec}\, \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{37}{35}$

সুতরাং, ${\rm cosec}\, \theta$ এর মান $\frac{37}{35}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

(ক) হতে পাই, লম্ব $AC = 35$ সে.মি., ভূমি $AB = 12$ সে.মি. এবং অতিভুজ $BC = 37$ সে.মি.

ত্রিভুজ হতে পাই,

$\sin \theta = \frac{35}{37}$

$\cos \theta =$ ^ভূমি⁄_{অতিভুজ} $= \frac{AB}{BC} = \frac{12}{37}$

$\tan \theta =$ ^লম্ব⁄_ভূমি $= \frac{AC}{AB} = \frac{35}{12}$

বামপক্ষ (L.H.S):

$= 2 \sin \theta \cos \theta$

$= 2 \times \frac{35}{37} \times \frac{12}{37}$

$= \frac{840}{1369}$

ডানপক্ষ (R.H.S):

$= \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$

$= \dfrac{2 \times \frac{35}{12}}{1 + \left(\frac{35}{12}\right)^2}$

$= \dfrac{\frac{35}{6}}{1 + \frac{1225}{144}}$

$= \dfrac{\frac{35}{6}}{\frac{144 + 1225}{144}}$

$= \frac{35}{6} \times \frac{144}{1369}$

$= 35 \times \frac{24}{1369}$

$= \frac{840}{1369}$

$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ

অর্থাৎ, $2 \sin \theta \cos \theta = \dfrac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ Showed

---

(গ) নং এর সমাধান

এখানে, কোণ $B$ হলো $\theta$ কোণ। সুতরাং, $\angle B = \theta$

(ক) ও (খ) হতে পাই,

$\cos B = \frac{12}{37}$

$\sin B = \frac{35}{37}$

$\tan B = \frac{35}{12}$

বামপক্ষ (L.H.S):

$= \cos^2 B - \sin^2 B$

$= \left(\frac{12}{37}\right)^2 - \left(\frac{35}{37}\right)^2$

$= \frac{144}{1369} - \frac{1225}{1369}$

$= \frac{144 - 1225}{1369}$

$= \frac{-1081}{1369}$

ডানপক্ষ (R.H.S):

$= \frac{1 - \tan^2 B}{1 + \tan^2 B}$

$= \dfrac{1 - \left(\frac{35}{12}\right)^2}{1 + \left(\frac{35}{12}\right)^2}$

$= \dfrac{1 - \frac{1225}{144}}{1 + \frac{1225}{144}}$

$= \dfrac{\frac{144 - 1225}{144}}{\frac{144 + 1225}{144}}$

$= \frac{-1081}{144} \times \frac{144}{1369}$

$= \frac{-1081}{1369}$

$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ

অর্থাৎ, $\cos^2 B - \sin^2 B = \dfrac{1 - \tan^2 B}{1 + \tan^2 B}$ Proved